Question

如圖四邊形ABCD中，AD=DC．∠DAB=∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F．DF與AB相交于E．設(shè)AB=15，BC=9，P是射線(xiàn)DF上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)△BCP的周長(zhǎng)最小時(shí)，DP的長(zhǎng)為

1. A.
   12
2. B.
   12.5
3. C.
   13
4. D.
   13.5

Answer 1

B
分析：先根據(jù)△ABC是直角三角形可求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)AD=DC，DF⊥AC可求出AF=CF=AC，故點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A，故E點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)△BCP的周長(zhǎng)最小，再根據(jù)DE⊥AC，BC⊥AC可知，DE∥BC，由相似三角形的判定定理可知△AEF∽△ABC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出AE的長(zhǎng)，同理，利用△AED∽△CBA即可求出DE的長(zhǎng)．
解答：∵∠ACB=90°，AB=15，BC=9，
∴AC===12，
∵AD=DC，DF⊥AC，
∴AF=CF=AC=6，
∴點(diǎn)C關(guān)于DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A，故E點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)△BCP的周長(zhǎng)最小，
∴DP=DE，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，即=，解得AE=，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴Rt△AED∽R(shí)t△CBA，
∴=，即=，解得DE==12.5，即DP=12.5．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)-最短線(xiàn)路問(wèn)題及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出DE=DP是解答此題的關(guān)鍵．