Question

3．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4$\sqrt{6}$，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F．連接DG，并延長DG交BC于點P．
（1）求證：四邊形BEDP是平行四邊形；
（2）求sin∠FBC的值；
（3）求△BPG的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊得出∠AEB=∠GEB，根據(jù)點E是AD的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出AE=DE=EG，得出∠EGD=∠EDG，進一步利用三角形的外角性質(zhì)求得∠AEB=∠EDG，得出BE∥DP，證得結(jié)論成立；
（2）利用“HL”證明△EDF和△EGF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可證得DF=GF；設FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式進行計算即可得出FD，進一步求得FC，利用勾股定理得出BF，利用銳角三角函數(shù)的意義求得sin∠FBC的值；
（3）利用（1）（2）的結(jié)論得出△BPG的底BP以及高求得面積即可．

解答 （1）證明：∵將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，E是AD的中點，
∴∠AEB=∠GEB，AE=DE=EG，
∴∠EGD=∠EDG，
又∵∠EGD+∠EDG=∠AEB+∠GEB，
∴∠AEB=∠EDG，
∴BE∥DP，
∵ED∥BP，
∴四邊形BEDP是平行四邊形；

（2）解：如圖，

連接EF，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠ADC=90°，
∴∠EGF=90°，
在Rt△EDF和Rt△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=FG}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
設DF=x，則BF=6+x，CF=6-x，
在Rt△BCF中，（4$\sqrt{6}$）²+（6-x）²=（6+x）²，
解得x=4．
∴CF=2，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=10，
∴sin∠FBC=$\frac{CF}{BF}$=$\frac{1}{5}$；

（3）∵四邊形BEDP是平行四邊形，
∴BP=DE=2$\sqrt{6}$，
∵BG=6，
∴△BPG的高=6×sin∠FBC=$\frac{6}{5}$，
∴△BPG的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×$\frac{6}{5}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{6}$．

點評 此題考查翻折變換，銳角三角函數(shù)的意義，勾股定理，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的判定，知識的綜合性強，抓住翻折變換的性質(zhì)，正確利用三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．