Question

【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c過點(diǎn)A（0，4）和C（8，0），點(diǎn)P（t，0）是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，PB⊥PA，且PB= PA，過點(diǎn)B作x軸的垂線，過點(diǎn)A作y軸的垂線，兩直線相交于點(diǎn)D；

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上；
（3）是否存在t，使得以A，B，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似？若存在，求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過點(diǎn)A（0，4）和C（8，0），

∴ ，

解得 ．

故所求的拋物線解析式為：y=﹣ x2+ x+4；

（2）解：∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°﹣∠APO，

∴△AOP∽△PEB且相似比為 = =2，

∵AO=4，

∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，

又∵DE=OA=4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（t+2，4），

∴點(diǎn)D落在拋物線上時(shí)，有﹣ （t+2）2+ （t+2）+4=4，

解得t=3或t=﹣2，

∵t＞0，

∴t=3．

故當(dāng)t為3時(shí)，點(diǎn)D落在拋物線上；

（3）解：存在t，能夠使得以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似，理由如下：

①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，如圖1．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，

即t：（t+2）=4：（4﹣ t），

整理，得t2+16=0，

∴t無解；

若△POA∽△BDA，同理，解得t=﹣2±2 （負(fù)值舍去）；

②當(dāng)t＞8時(shí)，如圖2．

若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，

即t：（t+2）=4：（ t﹣4），

解得t=8±4 （負(fù)值舍去）；

若△POA∽△BDA，同理，解得t無解．

綜上可知，當(dāng)t=﹣2+2 或8+4 時(shí)，以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似．

【解析】先將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=﹣ x2+bx+c，利用待定系數(shù)法求出b、c的值即可；（2）先判斷出△AOP∽△PEB得出其相似比，進(jìn)而求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，代入y=﹣ x2+ x+4即可求出t的值；（3）存在t，能夠使得以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOP相似，①當(dāng)0＜t＜8時(shí)，若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，從而t：（t+2）=4：（4﹣ t）無解，若△POA∽△BDA，同理，解得t=﹣2±2 （負(fù)值舍去），②當(dāng)t＞8時(shí)若△POA∽△ADB，則PO：AD=AO：BD，即t：（t+2）=4：（ t﹣4），解得t=8±4 （負(fù)值舍去），若△POA∽△BDA，同理，解得t無解．綜上所述得出結(jié)論。