Question

【題目】對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)角的“夾線圓”，給出如下定義：如果一個(gè)圓與這個(gè)角的兩邊都相切，則稱這個(gè)圓為這個(gè)角的“夾線圓”.例如：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（1，1）為圓心，1為半徑的圓是x軸與y軸所構(gòu)成的直角的“夾線圓”.

(1)下列各點(diǎn)中，可以作為x軸與y軸所構(gòu)成的直角的“夾線圓”的圓心的點(diǎn)是哪些；

A（2，2），B（3，1），C（-1，0），D（1，-1）

(2)若⊙P為y軸和直線 l：所構(gòu)成的銳角的“夾線圓”，且⊙P的半徑為1，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)若 ⊙Q為x軸和直線所構(gòu)成的銳角的“夾線圓”，且⊙Q的半徑，直接寫出點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）A，D； （2）P點(diǎn)坐標(biāo)為，（3）

【解析】

（1）由點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)相等及點(diǎn)D的橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，可得出點(diǎn)A，D能作為x軸與y軸所構(gòu)成的直角的“夾線圓”的圓心；
（2）過(guò)P點(diǎn)作PE⊥y軸于點(diǎn)E，PF⊥直線l于點(diǎn)F，連PO，設(shè)直線l與x軸夾角為α，由直線l的解析式可得出α=30°及∠EOF=60°，由⊙P與y軸及直線OF均相切可得出∠EOP=30°，結(jié)合EP=1可求出OE=，進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）過(guò)Q點(diǎn)作QM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥直線y=-x+2于點(diǎn)N，延長(zhǎng)MQ交直線y=-x+2于點(diǎn)G，設(shè)直線y=-x+2與x軸交于點(diǎn)S，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)S的坐標(biāo)，由∠MSG=30°，∠MGS=60°可得出MS=MGtan60°=（2+）r，結(jié)合1≤r≤2可得出MS的取值范圍，再將其代入xQ=6+MS或xQ=6-MS即可得出點(diǎn)Q橫坐標(biāo)xQ的取值范圍．

（1））∵2=2，1=|-1|，
∴點(diǎn)A，D能作為x軸與y軸所構(gòu)成的直角的“夾線圓”的圓心．

故答案為：點(diǎn)A， D能作為x軸與y軸所構(gòu)成的直角的“夾線圓”的圓心．

（2）如圖：過(guò)P點(diǎn)作PA⊥y軸于點(diǎn)A，PB⊥l于B，連PO.

∵點(diǎn)B為直線上一點(diǎn)

∴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，）

設(shè)直線與x軸夾角為

∴直線 l與x軸的夾角為30°

∴∠AOB=60°

又∵⊙P與x軸及直線OB均相切，

∴OP平分∠AOB

∴∠AOP=30°

又∵AP=1

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為

同理，當(dāng)P點(diǎn)在第三象限時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為

（3）

理由：如圖2，過(guò)Q點(diǎn)作QM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥直線y=-x+2

于點(diǎn)N，延長(zhǎng)MQ交直線y=-x+2于點(diǎn)G，設(shè)直線y=-x+2與x軸交于點(diǎn)S．

當(dāng)y=0時(shí)，有-x+2=0，
解得：x=6，
∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為（6，0）．
∵∠MSG=30°，
∴∠MGS=60°，
∴MG=MQ+QG=r+ =r ，
∴MS=MGtan60°=（2+）r，
∵⊙Q的半徑1≤r≤2，
∴2+≤MS≤4+2，
∴2-2≤6-MS≤4-，8+≤6+MS≤10+2，
∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)xQ的取值范圍為：2-2≤xQ≤4-或8+≤xQ≤10+2．