Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，3)、B(3，0)，以點(diǎn)B為圓心、2為半徑的⊙B上有一動(dòng)點(diǎn)P．連接AP，若點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，連接OC，則OC的最小值為(　　)

A. 1 B. ﹣1 C. D. 2﹣1

Answer 1

【答案】B

【解析】

確定點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是：以D為圓心，以DC1為半徑的圓，當(dāng)O、C、D共線時(shí)，OC的長(zhǎng)最小，先求⊙D的半徑為1，說(shuō)明D是AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線是斜邊一半可得OD=，所以OC的最小值是-1．

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，即如圖中點(diǎn)P1，C1是AP1的中點(diǎn)，

，

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，C2是中點(diǎn)，取C1C2的中點(diǎn)為D，

點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是以D為圓心，以DC1為半徑的圓（CA：PA=1：2，則點(diǎn)C軌跡和點(diǎn)P軌跡相似，所以點(diǎn)C的軌跡就是圓），當(dāng)O、C、D共線時(shí)，OC的長(zhǎng)最小，

設(shè)線段AB交⊙B于Q，

Rt△AOB中，OA=3，OB=3，

∴AB=3，

∵⊙B的半徑為2，

∴BP1=2，AP1=3+2，

∵C1是AP1的中點(diǎn)，

∴AC1=+1，AQ=3-2，

∵C2是AQ的中點(diǎn)，

∴AC2=C2Q=-1，

C1C2=+1-（-1）=2，即⊙D的半徑為1，

∵AD=-1+1==AB，

∴OD=AB=，

∴OC=-1，
故選：B．