Question

20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)F在直線BC上，∠EDF=90°．
（1）如圖1，若點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F在BC的延長線上，則此時(shí)$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）若點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動，點(diǎn)F在線段BC上隨之運(yùn)動（如圖2），請猜想在此過程中$\frac{DE}{DF}$的值是否發(fā)生改變．若不變，請求出$\frac{DE}{DF}$的值；若改變，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，在線段EC上取一點(diǎn)G，在線段CB的延長線上取一點(diǎn)H，其中$\frac{EG}{FH}=k$，請問k為何值時(shí)，恒有∠GDH=90°．請?jiān)趫D3中補(bǔ)全圖形，直接寫出符合題意的k值，并以此為條件，證明∠GDH=90°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定定理證明△ACB≌△FDB，得到∠F=∠A=30°，根據(jù)正切的概念解答；
（2）過點(diǎn)D作DM⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)M，證明△ADE∽△MDF，得到$\frac{DE}{DF}=\frac{DA}{DM}$，計(jì)算即可；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)相似三角形的判定定理證明△EGD∽△FHD即可．

解答 解：（1）$\frac{DE}{DF}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=BC，
在△ACB和△FDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠FDB}\\{BC=BD}\\{∠B=∠B}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△FDB，
∴∠F=∠A=30°，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BD}{DF}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）猜想：在此過程中，$\frac{DE}{DF}$的值不變，
如圖2，過點(diǎn)D作DM⊥AB交BC的延長線于點(diǎn)M．
∴∠MDA=∠MDB=90°，即∠1+∠3=90°
又∵∠EDF=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2
∵∠ACB=∠MDB=90°
∴∠A=90°-∠B，∠M=90°-∠B
∴∠A=∠M
∴△ADE∽△MDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{DA}{DM}$，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴DA=DB，
∴$\frac{DA}{DM}=\frac{DB}{DM}=tanM=tan{30^o}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴在此過程中，$\frac{DE}{DF}$的值不變，恒為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（3）k=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
證明：由（2）得$\frac{DE}{DF}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}=k=\frac{EG}{FH}$
∵四邊形CEDF中，∠ACB=∠EDF=90°，
∴∠4+∠6=360°-∠ACB-∠EDF=180°
又∵∠5+∠6=180°
∴∠4=∠5
∴△EGD∽△FHD，
∴∠EDG=∠FDH
∵∠EDF=∠EDG+∠FDG=90°
∴∠FDH+∠FDG=90°
即∠GDH=90°．

點(diǎn)評 本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的概念，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理是解題的關(guān)鍵．