Question

在直角坐標系xoy中，已知點P是反比例函數(shù)圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．

（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B、C．當四邊形ABCP是菱形時，求出點A、B、C的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）四邊形OKPA是正方形.理由見解析（2）A（0，），B（1，0）  C（3，0）

【解析】解：（1）∵⊙P分別與兩坐標軸相切

     ∴ PA⊥OA，PK⊥OK

     ∴∠PAO=∠OKP=90°，而∠AOK=90°

     ∴四邊形OKPA是矩形，而PA=PK

     ∴四邊形OKPA是正方形

（2）連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為．

過點P作PG⊥BC于G，

∵四邊形ABCP為菱形

∴BC=PC= PA= AB，而 PA= PB = PC

∴△PBC是等邊三角形

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x

PG=．sin60°=，即

解得：x=±2（負值舍去）∴ PG=，PA=BC=2

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1

∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3

∴ A（0，），B（1，0）  C（3，0）．

（1）四邊形OKPA是正方形．當⊙P分別與兩坐標軸相切時，PA⊥y軸，PK⊥x軸，x軸⊥y軸，且PA=PK，可判斷結論；

（2）連接PB，設點P（x，），過點P作PG⊥BC于G，則半徑PB=PC，由菱形的性質得PC=BC，可知△PBC為等邊三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG= ，利用sin∠PBG=PG/PB ，列方程求x即可．