Question

（1）先觀察下列等式，再完成題后問題：

1

2×3

=

1

2

-

1

3

  

1

3×4

=

1

3

-

1

4

  

1

4×5

=

1

4

-

1

5

①請你猜想：

1

2010×2011

=

 

；
②若a、b為有理數(shù)，且|a-1|+（ab-2）²=0，求：

1

ab

+

1

(a+1)(b+1)

+

1

(a+2)(b+2)

+…+

1

(a+2009)(b+2009)

的值．
（2）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為

1

2

的長方形，接著把面積為

1

2

的長方形等分成兩個面積為

1

4

的正方形，再把面積為

1

4

的正方形等分成兩個面積為

1

8

的矩形．如此進行下去，試利用圖形揭示的規(guī)律計算：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+

1

128

+

1

256

．

Answer 1

考點：規(guī)律型：圖形的變化類,有理數(shù)的混合運算

專題：

分析：（1）①根據(jù)題意類比得出

1

2010×2011

=

1

2010

-

1

2011

；
②先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出a、b的值，代入原式變形為1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

2010

-

1

2011

是解題的關鍵；
（2）由數(shù)據(jù)和圖象可知，利用正方形的面積減去最后的一個小長方形的面積來求解面積和即可．

解答：解：（1）①

1

2010×2011

=

1

2010

-

1

2011

；
②∵|a-1|+（ab-2）²=0，
∴a-1=0，ab-2=0，
∴a=1，b=2（2分）
原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

；
（2）

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+

1

32

+

1

64

+

1

128

+

1

256

=1-

1

256

=

255

256

．

點評：此題考查數(shù)字的變化規(guī)律和圖形的變化規(guī)律，從所給的數(shù)據(jù)和運算方法進行分析，從特殊值的規(guī)律上總結(jié)出一般性的規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．