Question

如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，動(dòng)點(diǎn)E（與點(diǎn)A，C不重合）在AC邊上，EF∥AB交BC于F點(diǎn)．
（1）當(dāng)△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等時(shí)，求CE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)△ECF的周長(zhǎng)與四邊形EABF的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CE的長(zhǎng)；
（3）試問(wèn)在AB上是否存在點(diǎn)P，使得△EFP為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)镋F∥AB，所以容易想到用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題；
（2）根據(jù)周長(zhǎng)相等，建立等量關(guān)系，列方程解答；
（3）先畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形猜想P點(diǎn)可能的位置，再找到相似三角形，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．
解答：解：（1）∵△ECF的面積與四邊形EABF的面積相等
∴S_△ECF：S_△ACB=1：2    
又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB 
==
∵AC=4，
∴CE=；

（2）設(shè)CE的長(zhǎng)為x
∵△ECF∽△ACB
∴=
∴CF=
由△ECF的周長(zhǎng)與四邊形EABF的周長(zhǎng)相等，
得x+EF+x=（4-x）+5+（3-x）+EF
解得
∴CE的長(zhǎng)為；

（3）△EFP為等腰直角三角形，有兩種情況：
①如圖1，假設(shè)∠PEF=90°，EP=EF
由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜邊AB上高CD=
設(shè)EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=
即=
解得x=，即EF=
當(dāng)∠EFP´=90°，EF=FP′時(shí)，同理可得EF=；

②如圖2，假設(shè)∠EPF=90°，PE=PF時(shí)，點(diǎn)P到EF的距離為EF
設(shè)EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=，即=
解得x=，即EF=
綜上所述，在AB上存在點(diǎn)P，使△EFP為等腰直角三角形，此時(shí)EF=或EF=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)，有一定的開(kāi)放性，難點(diǎn)在于作出輔助線就具體情況進(jìn)行分類(lèi)討論．