Question

如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA，反比例函數(shù)（k＞0）的圖象與線段OA、AB分別交于點(diǎn)C、D，若AB=3BD．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）以點(diǎn)C為圓心，CA的倍的長為半徑作圓，試判斷該圓與x軸的位置關(guān)系．

Answer 1

解：（1）∵A（，3），AB=3BD，
∴D（，1），
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=的圖象上，
∴k=，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=，
設(shè)直線OA的解析式為y=kx（k≠0），則3=k，解得k=，
∴直線OA的解析式為y=x，
∴，
解得或（舍去），
∴C（1，）；

（2）過C點(diǎn)做CE垂直于OB于點(diǎn)E，
∵A（，3），C（1，），
∴AC==2，
∵C（1，），
∴OC=2，
∴CA=2-2，
∴CA=（-1），CE=，
∵（-1）-=-＞0，
∴該圓與x軸相交．
分析：（1）先根據(jù)A（，3），AB=3BD求出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出反比例函數(shù)y=的解析式，用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，求出直線與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）過C點(diǎn)做CE垂直于OB于點(diǎn)E，由A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出AC的長，根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)得出OC的長，進(jìn)而得出CA的長，再比較出CA與CE長度的大小即可．
點(diǎn)評：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式等知識，難度適中．