Question

已知：二次函數(shù)y=x²+bx+8的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）．
（1）求二次函數(shù)y=x²+bx+8的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿豎直方向向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)C、點(diǎn)D分別為點(diǎn)P、點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)四邊形PQCD的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求S與t的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式（不必寫(xiě)出t的取值范圍）；
（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形PQCD能否形成矩形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先應(yīng)用待定系數(shù)法求得解析式，然后解方程求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，把二次函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）先證得四邊形PQCD是平行四邊形，然后根據(jù)已知條件表示出PC、QN，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣eS=2S_△PCQ，即可求得．
（3）由（2）可知四邊形是平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，即可求得t的值．

解答：解：（1）∵y=x ²+bx+8的圖象與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）
∴b=6
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x ²+6x+8
令y=0，得x ²+6x+8=0，
解得x₁=-2，x₂=-4，
∴B（-4，0），
y=x ²+6x+8
=（x+3）²-1，
∴頂點(diǎn)M（-3，-1），

（2）∵點(diǎn)C、點(diǎn)D分別為點(diǎn)P、點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)
∴OP=OC，OD=OQ
∴四邊形PQCD是平行四邊形
BP=t，OP=4-t，PC=2OP=8-2t
作QN⊥x軸于點(diǎn)N，
∵點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，沿豎直向下方向運(yùn)動(dòng)
∴點(diǎn)M必在QN上
MN=1，MQ=2t，QN=1+2t，
S=2S_△PCQ=（ 8-2t ）（ 1+2t ）=-4 t ²+14t+8，

（3）在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形PQCD能形成矩形，
由（2）知四邊形PQCD是平行四邊形，當(dāng)對(duì)角線PC=DQ時(shí)，四邊形PQCD是矩形
∴OP=OQ，OP ²=OQ ²=ON ²+QN ²
∴（ 4-t ） ²=3 ²+（ 1+2t ） ²
∴t ²+4t-2=0，
解得：t₁=

6

-2，t₂=-

6

-2（舍去），
∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形PQCD可以形成矩形，此時(shí)t的值為（

6

-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式以及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)式，平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定等．