Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于直線x=-1對稱，與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，且AB=4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-

3

2

）在拋物線上，直線l是一次函數(shù)y=kx+2（k＞0）的圖象，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線l平分四邊形OCDA的面積，求k的值；
（3）把拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，所得拋物線與直線l交于M、N兩點(diǎn)，（其中M點(diǎn)在y軸左側(cè)，N點(diǎn)在y軸右側(cè)）問在y軸的負(fù)半軸上是否存在一定點(diǎn)P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對稱？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)對稱，可得A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）根據(jù)解方程組，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形面積相等，可得兩個(gè)平行四邊形的上下底的和相等，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)拋物線平移，可得解析式為：y=

1

2

x2，根據(jù)兩角相等的兩個(gè)三角形相似，可得Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)邊的比相等，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于直線x=-1對稱，AB=4，
∴A（-3，0）B（1，0）
又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-

3

2

）在拋物線上
∴

a+b+c=0 9a-3b+c=0 4a-2b+c=0

，
解得

a= 1 2 b=1 c=- 3 2

．
∴拋物線的解析式為 y=

1

2

x2+x-

3

2

；

（2）由（1）可知 y=

1

2

x2+x-

3

2

令x=0得C的坐標(biāo)（0，-

3

2

）
∴CD∥AB
L與AB交于點(diǎn)E，與CD交于點(diǎn)F
則E點(diǎn)的坐標(biāo)由

y=0 y=kx+2

解得E（-

2

k

，0）
F點(diǎn)的坐標(biāo)由

y=- 3 2 y=kx=2

解得F（-

7

2k

，-

3

2

）
根據(jù)S_{四邊形OCEF}=S_{四邊形EFDA}，
得OE+CF=DF+AE
即|-

2

k

|+|-

7

2k

|=（3-|-

2

k

|）+（2-|-

7

2k

|）
∵k＞0
∴

2

k

+

7

2k

=3-

2

k

+2-

7

2k

解得k=

11

5

（3）存在定點(diǎn)P，使得不論k取何值，直線PM與PN總是關(guān)于y軸對稱
由（1 ）知y=

1

2

x2+x-

3

2

=

1

2

(x2+2x+1-1)-

3

2

=

1

2

(x+1)2-2

物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位所得拋物線的解析式為：y=

1

2

x2
如圖假設(shè)在y軸上存在一點(diǎn)P（0，t）  （t＜0）
使直線PM、PN關(guān)于y軸對稱，過點(diǎn)M、N分別向y軸作垂線MM₁、NN₁，垂足分別為M₁、N₁
∵∠MPO=∠NPO
∴Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁
∴

MM1

NN1

=

PM1

PN1

     ①
設(shè)點(diǎn)M（x_m，y_m）在點(diǎn)N（x_n，y_n）的左側(cè)
點(diǎn)P在y的負(fù)半軸上
則①式變?yōu)?span id="gcsiuq6" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

-xm

xn

=

-t+ym

-t+yn

即

xm

xn

=

t-ym

t-yn

又∵y_m=kx_m+2    y_n=kx_n+2
∴

xm

xn

=

t-kxm-2

t-kxn-2

化簡得t（x_m-x_n0=-2（x_m-x_n）
∵x_m≠x_n
∴t=-2 符合條件
∴在y軸的負(fù)半軸上是否存在一定點(diǎn)P（0，-2）使直線PM與PN總是關(guān)于y軸對稱．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求解析式，（2）根據(jù)兩梯形面積相等得出方程式解題關(guān)鍵，（3）由相似三角形的對應(yīng)邊相等得出方程是解題關(guān)鍵．