Question

如圖，⊙O的弦AD∥BC，過點D的切線交BC的延長線于點E，AC∥DE交BD于點H，DO及延長線分別交AC、BC于點G、F．
（1）求證：DF垂直平分AC； 
（2）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得DF⊥DE，再利用平行線的性質(zhì)得DF⊥AC，然后根據(jù)垂徑定理即可得到DF垂直平分AC；
（2）連結(jié)AO，如圖，由（1）得AG=4cm，在Rt△AGD中利用勾股定理計算出DG=3cm，設(shè)圓的半徑為r，則AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中再次利用勾股定理得到（r-3）²+4²=r²，然后解方程即可得到圓的半徑．

解答：（1）證明：∵DE是⊙O的切線，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴AG=CG，
∴DF垂直平分AC；
（2）解：連結(jié)AO，如圖，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm，
在Rt△AGD中，∵AD=5cm，AG=4cm，
∴DG=

AD2-AG2

=3cm
設(shè)圓的半徑為r，則AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，∵OG²+AG²=OA²，
∴（r-3）²+4²=r²，即得r=

25

6

，
即⊙O的半徑為

25

6

cm．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．注意構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計算線段的長．