Question

在△ABC中，BO平分∠ABC，點P為直線AC上一動點，PO⊥BO于點O．

（1）如圖1，當∠ABC=40°，∠BAC=60°，點P與點C重合時，∠APO=

10°

；
（2）如圖2，當點P在AC延長線時，求證：∠APO=

1

2

（∠ACB-∠BAC）；
（3）如圖3，當點P在邊AC所示位置時，請直接寫出∠APO與∠ACB，∠BAC等量關系式

∠APO=180°+

1

2

（∠ACB-∠BAC）

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內角和定理求出∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠OBC，然后求出∠OCB，再根據(jù)∠APO=∠ACB-∠OCB計算即可得解；
（2）作射線AO，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，從而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根據(jù)三角形的內角和定理以及角平分線的定義用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解；
（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠OBC，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵∠ABC=40°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-40°-60°=80°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠OBC=

1

2

×40°=20°，
∵PO⊥BO，
∴∠OCB=90°-∠OBC=90°-20°=70°，
∴∠APO=∠ACB-∠OCB=80°-70°=10°；

（2）如圖，作射線AO，
則∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，
所以，∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，
∵PO⊥BO，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，
即∠BAC+∠2+∠P=90°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠2=

1

2

∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB，
∴∠2=

1

2

（180°-∠BAC-∠ACB），
∴∠APO=90°-∠BAC-∠2=90°-∠BAC-

1

2

（180°-∠BAC-∠ACB）=

1

2

（∠ACB-∠BAC）；

（3）
∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=

1

2

（180°-∠BAC-∠ACB）．
∵PO⊥BO，∴∠APO=90°+（∠ABO+∠BAC）
=90°+

1

2

（180°-∠BAC-∠ACB）+∠BAC
=180°+

1

2

（∠BAC-∠ACB），
即∠APO=180°+

1

2

（∠BAC-∠ACB）．
故答案為：（1）10°；（3）∠APO=180°+

1

2

（∠BAC-∠ACB）．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，三角形的外角性質，難度中等，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．