Question

如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=k₂x+b的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A（1，n），．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？
（3）求△AOB的面積．
（4）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)你直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）把點(diǎn)B代入，得
k₁=2，
則反比例函數(shù)的解析式是y=；
把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)解析式，得n=1，則A（1，1）．
把A（1，1）和代入y=k₂x+b，得
，
解得，
則一次函數(shù)的解析式是y=2x-1；

（2）由圖象，得當(dāng)-＜x＜0或x＞1時(shí)，則一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．

（3）由一次函數(shù)的解析式，得直線AB與y軸的交點(diǎn)是（0，-1），
則△AOB的面積=×1×1+×1×=．

（4）存在．
∵A（1，1），
∴OA=，
①若OA=OP，
則OP=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0）或（-，0）；
②若AO=AP，
過A作AC⊥x軸于C，
∴OC=1，
∴OP=2OC=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）；
③若OP=AP，
則P是OA的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，
則點(diǎn)P為（1，0）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，0）或（，0）或（-，0）或（2，0）．
分析：（1）首先根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求得反比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求得一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象上A、B兩點(diǎn)即可看出當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；
（3）要求△AOB的面積，可以分兩部分求解．首先根據(jù)直線AB的解析式求得與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步根據(jù)y軸所分成的兩個(gè)三角形的面積求解；
（4）分兩種情況考慮：①當(dāng)OA是底邊時(shí)，則OA的垂直平分線和x軸的交點(diǎn)；②當(dāng)OA是腰時(shí)，則分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧，和x軸的交點(diǎn)（點(diǎn)O除外）．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、觀察圖象法、三角形的面積的計(jì)算方法以及等腰三角形的判定和性質(zhì)．