Question

如圖，點P在y軸的正半軸上，⊙P交x軸于B、C兩點，以AC為直角邊作等腰Rt△ACD，BD分別交y軸和⊙P于E、F兩點，交連結AC、FC．

(1)求證：∠ACF=∠ADB;

(2)若點A到BD的距離為m，BF+CF=n，求線段CD的長；

(3)當⊙P的大小發(fā)生變化而其他條件不變時，的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：連接AB                                             ……1分

           ∵OP⊥BC

           ∴BO=CO                                               ……2分

           ∴AB=AC

         又∵AC=AD

           ∴AB=AD

           ∴∠ABD=∠ADB                                         ……3分

         又∵∠ABD=∠ACF

           ∴∠ACF=∠ADB                                         ……4分

（2）解：過點A做AM⊥CF交CF的延長線于M，過點A做AN⊥BF于N，連接AF

      

則AN=m

∴∠ANB=∠AMC=90°

又∵∠ABN=∠ACM ，AB=AC

  ∴Rt⊿ABN≌Rt⊿ACM（AAS）

  ∴BN=CM ，AN=AM                                       ……5分

又∵∠ANF=∠AMF=90°, AF公共

  ∴Rt⊿AFN≌Rt⊿AFM(HL)

  ∴NF=MF                                                 ……6分

  ∴BF+CF=BN+NF+CM-MF

         =BN+CM=2BN=n                                   ……7分

  ∴BN=

  ∴CD=                                       ……8分

  

（3）過點D做DH⊥AO于N , 過點D做DQ⊥BC于Q                  ……9分

∵∠DAH+∠OAC=90°,  ∠DAH+∠ADH=90°

 ∴∠OAC=∠ADH

又∵∠DHA=∠AOC=90°, AD=AC

∴Rt⊿DHA≌Rt⊿AOC（AAS）

∴DH=AO ,AH=OC                ……10分

∴==