Question

（2010•重慶）已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=．下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S_△APD+S_△APB=1+；⑤S_{正方形ABCD}=4+．其中正確結論的序號是（ ）

A．①③④
B．①②⑤
C．③④⑤
D．①③⑤

Answer 1

【答案】分析：①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再結合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，結合三角形的外角的性質，易得∠BEP=90°，即可證；②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，結合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB²，即是正方形的面積；④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可．
解答：解：①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB；
故此選項成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此選項成立；
②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，
∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵BE===，
∴BF=EF=，
故此選項不正確；
④如圖，連接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=，
又∵PB=，
∴BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
∴S_△ABP+S_△ADP=S_△ABD-S_△BDP=S_{正方形ABCD}-×DP×BE=×（4+）-××=+．
故此選項不正確．
⑤∵EF=BF=，AE=1，
∴在Rt△ABF中，AB²=（AE+EF）²+BF²=4+，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=4+，
故此選項正確；
故選D．
點評：本題利用了全等三角形的判定和性質、正方形的性質、正方形和三角形的面積公式、勾股定理等知識．