Question

18．已知x²+（a+3）x+a+1=0是關(guān)于x的一元二次方程．
（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，且x₁²+x₂²=10，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算判別式，再進(jìn)行配方得到△=（a+1）²+4，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，再利用判別式的意義即可得到方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-（a+3），x₁x₂=a+1，再利用完全平方公式由x₁²+x₂²=10得（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，則（a+3）²-2（a+1）=10，然后解關(guān)于a的方程即可．

解答 （1）證明：△=（a+3）²-4（a+1）
=a²+6a+9-4a-4
=a²+2a+5
=（a+1）²+4，
∵（a+1）²≥0，
∴（a+1）²+4＞0，即△＞0，
∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：根據(jù)題意得x₁+x₂=-（a+3），x₁x₂=a+1，
∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
∴（a+3）²-2（a+1）=10，
整理得a²+4a-3=0，解得a₁=-2+$\sqrt{7}$，a₂=-2-$\sqrt{7}$，
即a的值為-2+$\sqrt{7}$或-2-$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．