Question

1．我國南海某海域有一個(gè)固定偵測點(diǎn)A，該偵測點(diǎn)的可偵測半徑為$10\sqrt{2}$海里．某天，在點(diǎn)A偵測到西北方向上的點(diǎn)C處有一可疑船恰好進(jìn)入偵測區(qū)域，且往正東方向勻速航行，我方與其進(jìn)行多次無線電溝通無果后，可疑船只于2小時(shí)后恰好在D處離開偵測區(qū)域，我方立即通知（通知時(shí)間忽略不計(jì)）位于點(diǎn)A北偏東37°方向，且與A相距50海里的B處的軍艦往正南方向?qū)�可疑船只進(jìn)行偵測攔截．
（1）求可疑船只的速度及點(diǎn)B到直線CD的距離；
（2）若軍艦航行速度為20海里/時(shí)，可偵測半徑為10海里，問軍艦最快幾小時(shí)可以偵測到可疑船只？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的判定定理求出CD，求出可疑船只的速度，作BF⊥CD交CD于點(diǎn)F，根據(jù)正切的定義求出BF；
（2）根據(jù)題意和勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）由題意可得，AC=AD=$10\sqrt{2}$，∠ACD=∠ADC=45°，
∴∠CAD=90°，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{（10\sqrt{2}）^{2}+（10\sqrt{2}）^{2}}$=20，
∴可疑船只的速度是：20÷2=10海里/時(shí)，
作BF⊥CD交CD于點(diǎn)F，如圖所示，
∵CD=20，AC=AD，AE⊥CD于點(diǎn)E，∠CAD=90°，
∴AE=10，
又∵EAG=37°，∠AEG=90°，
∴AG=$\frac{AE}{cos37°}=\frac{10}{0.8}=\frac{25}{2}$，
∵AB=50，
∴BG=$\frac{75}{2}$，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BF，
∴∠GBF=∠GAE=37°，
∴BF=BG•cos37°=$\frac{75}{2}×0.8=30$，
即可疑船只的速度是10海里/時(shí)，點(diǎn)B到直線CD的距離是30海里；
（2）EG=AE•tan∠EAG=7.5，
∴DG=ED-EG=2.5，
GF=BF•tan∠B=22.5，
則DF=GF-GD=20，
設(shè)軍艦最快x小時(shí)可以偵測到可疑船只，
由勾股定理得，MN²=NF²+MF²，即（20-10x）²+（30-20x）²=10²，
解得x=$\frac{6}{5}$．
答：軍艦最快$\frac{6}{5}$小時(shí)可以偵測到可疑船只．

點(diǎn)評 本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，正確標(biāo)注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用．