Question

13、若對(duì)于任意n個(gè)連續(xù)正整數(shù)中，總存在一個(gè)數(shù)的數(shù)字之和是8的倍數(shù)．試確定n的最小值．并說明理由．

Answer 1

分析：首先證n≤14時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)不成立，由當(dāng)N=14時(shí)，對(duì)于9999993，9999994，…，10000006這14個(gè)連續(xù)整數(shù)，任意一個(gè)數(shù)的數(shù)字之和均不能被8整除，即可得n≤14時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)不成立；然后證n=15時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)成立，由于設(shè)a₁，a₂，…，a₁₅為任意的連續(xù)15個(gè)正整數(shù)，則這15個(gè)正整數(shù)中，個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)最多有兩個(gè)，最少有一個(gè)，所以分別從當(dāng)a₁，a₂，…，a₁₅中個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)有兩個(gè)時(shí)與當(dāng)a₁，a₂，…，a₁₅中個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)有一個(gè)時(shí)去分析即可求得答案．

解答：解：先證n≤14時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)不成立．
當(dāng)N=14時(shí)，對(duì)于9999993，9999994，…，10000006這14個(gè)連續(xù)整數(shù)，任意一個(gè)數(shù)的數(shù)字之和均不能被8整除．
故n≤14時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)不成立．
因此，要使題設(shè)的性質(zhì)成立，應(yīng)有n≥15．
再證n=15時(shí)，題設(shè)的性質(zhì)成立．
設(shè)a₁，a₂，…，a₁₅為任意的連續(xù)15個(gè)正整數(shù)，則這15個(gè)正整數(shù)中，個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)最多有兩個(gè)，最少有一個(gè)，可以分為：
（1）當(dāng)a₁，a₂，…，a₁₅中個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)有兩個(gè)時(shí)，
設(shè)a_i＜a_j，且a_i、a_j的個(gè)位數(shù)字為0，則滿足a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_j為連續(xù)的11個(gè)整數(shù)，其中a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_j無進(jìn)位．
設(shè)n_i表示a_i各位數(shù)字之和，則前10個(gè)數(shù)各位數(shù)字之和分別為n_i，n_i+1，…，n_i+9．
故這連續(xù)的10個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)被8整除．
（2）當(dāng)a₁，a₂，…，a₁₅中個(gè)位數(shù)字為0的整數(shù)有一個(gè)時(shí)（記為a_i），
①若整數(shù)i滿足1≤i≤8時(shí)，則在a_i后面至少有7個(gè)連續(xù)整數(shù)，于是a_i，a_i+1，…，a_i+7這8個(gè)連續(xù)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和也為8個(gè)連續(xù)整數(shù)，所以，必有一個(gè)數(shù)能被8整除．
②若整數(shù)i滿足9≤i≤15時(shí)，則在a_i前面至少有8個(gè)連續(xù)整數(shù)，不妨設(shè)a_i-8，a_i-7，…，a_i-1這8個(gè)連續(xù)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和也為8個(gè)連續(xù)整數(shù)，所以，必有一個(gè)數(shù)能被8整除．
綜上，對(duì)于任意15個(gè)連續(xù)整數(shù)中，必有一個(gè)數(shù)，其各位數(shù)字之和是8的倍數(shù)．
而小于15個(gè)的任意連續(xù)整數(shù)不成立此性質(zhì)．
∴n的最小值是15．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了整數(shù)問題的綜合應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意分類討論你思想的應(yīng)用．