Question

26、如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA、OD到點F、E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF．將△EOF繞點O逆時針旋轉α角得到△E₁OF₁（如圖2）．
（1）探究AE₁與BF₁的數量關系，并給予證明；
（2）當α=30°時，求證：△AOE₁為直角三角形．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉不變量找到相等的角和線段，證得△E₁AO≌△F₁BO后即可證得結論；
（2）利用已知角，得出∠GAE₁=∠GE ₁A=30°，從而證明直角三角形．

解答：解：（1）AE₁=BF₁．
證明：∵O為正方形ABCD的中心，
∴OA=OD，
∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，
∵將△EOF繞點O逆時針旋轉α角得到△E₁OF₁
∴OE₁=OF₁，
∵∠F₁OB=∠E₁OA，OA=OB，
∴△E₁AO≌△F₁BO，
∴AE₁=BF₁；

（2）∵取OE ₁中點G，連接AG，
∵∠AOD=90°，α=30°，
∴∠E ₁OA=90°-α=60°，
∵OE ₁=2OA，∴OA=OG，
∴∠E ₁OA=∠AGO═∠OAG=60°，
∴AG=GE ₁，∴∠GAE₁=∠GE ₁A=30°，∴∠E₁AO=90°，
∴△AOE₁為直角三角形．

點評：本題考查了正方形的性質，利用正方形的特殊性質求解．結合了三角形全等的問題，并且涉及到探求性的問題，屬于綜合性比較強的問題．要求解此類問題就要對基本的知識點有很清楚的認識，熟練掌握．