Question

已知拋物線y=x²+kx+k-1（-1＜k＜1）．
（1）證明拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）問(wèn)該拋物線與x軸的交點(diǎn)分布情況（指交點(diǎn)落在x軸的正、負(fù)半軸或在原點(diǎn)等情形），并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，問(wèn)是否存在以A、B、C為頂點(diǎn)的直角三角形并證明你的結(jié)論．（需要畫(huà)拋物線示意圖，請(qǐng)用如下坐標(biāo)系）

Answer 1

（1）證明：由一元二次方程x²+kx+k-1=0根的判別式，△=k²-4（k-1）=k²-4k+2=（k-2）²＞0，
故該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

（2）解：設(shè)拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，則x₁，x₂是方程x²+kx+k-1=0的兩個(gè)實(shí)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁•x₂=k-1，
∵-1＜k＜1，
∴x₁x₂＜0，
∴該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別落在x軸的正負(fù)半軸上．

（3）解：存在符合條件的直角三角形．
證明：如圖所示，由拋物線的對(duì)稱性可知AB=BC，于是點(diǎn)A，B不可能為Rt△ABC的直角頂點(diǎn)，
∴只有點(diǎn)C可以為Rt△ABC的直角頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C為△ABC的直角頂點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性和直角三角形的性質(zhì)，可知AB的中點(diǎn)M恰是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，
∴CM的長(zhǎng)為拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．
即CM=|-|=．
設(shè)A（x₁，0）B（x₂，0），（由（2）可知x₁＜0＜x₂），
則x₁，x₂是方程x²+kx+k+1=0的兩個(gè)實(shí)根，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴AB=x₂-x₁=1-k+1=2-k，
由直角三角形的性質(zhì)得MC=AB，
∴=，
∵-1＜k＜1，
則2-k＞0，
∴=1，
解得k=0，
∴當(dāng)k=0時(shí)存在以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
故存在符合條件的直角三角形．
分析：（1）令y=0即x²+kx+k-1=0，根據(jù)元二次方程根的判別式，△＞0，即可得出該拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）根據(jù)一元二次方程x²+kx+k-1=0根與系數(shù)的關(guān)系，及k的取值范圍可求出，兩根之積的正負(fù)，判斷出拋物線與x軸的交點(diǎn)分布情況．
（3）假設(shè)存在符合條件的直角三角形．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知AB=BC，于是點(diǎn)A，B不可能為Rt△ABC的直角頂點(diǎn)，只有點(diǎn)C可以為Rt△ABC的直角頂點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性和直角三角形的性質(zhì)，可知AB的中點(diǎn)M恰是對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，即CM的長(zhǎng)為拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，根據(jù)拋物線y=x²+kx+k-1（-1＜k＜1），可用k表示出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)一元二次方程x²+kx+k+1=0根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出兩根的值，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及k的取值范圍可求出k的值．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，考查的是一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，及直角三角形的性質(zhì)，是中學(xué)階段的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．