Question

11．在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，E是OC上任意一點，AG⊥BE于點G，交直線BD于點F．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是正方形，判斷AF與BE的數(shù)量關系：AF與BE的數(shù)量關系是AF=BE；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，求$\frac{AF}{BE}$的值；
（3）如圖3，若四邊形ABCD中，AC⊥BD，∠ABC=α，∠DBC=β，請你補全圖形，并直接寫出：$\frac{AF}{BE}$=tan（α-β）（用含α，β的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質和全等三角形的性質即可得到結論；
（2）根據(jù)四邊形ABCD是菱形和∠ABC=120°，推出AC⊥BD，∠ABO=60°，根據(jù)余角的性質得到∠AFO=∠BEA，又因為∠AOF=∠BOE=90°，推出三角形相似，即可得到結論；
（3）根據(jù)垂直的定義得到∠AGB=∠AOB=90°，推出A，G，B，O四點共圓，根據(jù)圓內接四邊形的性質得到∠GAO=∠GAO，推出△AOF∽△BOE，即可得到結論．

解答 解：（1）AF=BE；  
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=BO，
∵AG⊥BE，∠AFO=∠BFG，
∴∠FAO=∠FBG，
在△AFO與△BFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠BOE}\\{∠FAO=∠FBG}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△BFO，
∴AF=BE；
故答案為：AF=BE；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°，
∴∠AFO=∠BEA，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\sqrt{3}$；

（3）如圖3，∵AG⊥BE，AC⊥BD，
∴∠AGB=∠AOB=90°，
∴A，G，B，O四點共圓，
∴∠GAO=∠GAO，
∴∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴$\frac{AF}{BE}$=$\frac{AO}{OB}$，
∵∠ABO=∠ABC-∠OBC=α-β，AC⊥BD，
∴$\frac{AO}{OB}$=tan（α-β），
∴$\frac{AF}{BE}$=tan（α-β）．
故答案為：tan（α-β）．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的性質，相似三角形的判定和性質，四點共圓，熟記定理是解題的關鍵．