Question

已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．
（1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2．求證：△BEP∽△CPD；
（2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿足∠EPF=∠C，PF交直線CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M，那么
①當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BP=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
②當(dāng)S△DMF=

9

4

S△BEP時(shí)，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）欲證△BEP∽△CPD，可由梯形ABCD中AB=DC，得出∠B=∠C，根據(jù)相似三角形的判斷兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似，證明兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等即可；
（2）①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，通過(guò)證明△BEP∽△CPF，得出比例關(guān)系即可；
②求BP的長(zhǎng)，分為兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△BEP∽△DMF，根據(jù)S△DMF=

9

4

S△BEP，得到相似比，結(jié)合y=-

1

2

x2+3x-4（2＜x＜4）求解即可，當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，同前，求得當(dāng)S△DMF=

9

4

S△BEP時(shí)，BP的長(zhǎng)為1．

解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠C．（1分）
BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．
∴

EB

CP

=

BP

CD

．
∴△BEP∽△CPD．（2分）

（2）解：①∵∠B=∠C=∠EPF
∴180-∠B=180-∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF
∴∠BEP=∠FPC，（1分）
∴△BEP∽△CPF，
∴

EB

CP

=

BP

CF

．（1分）
∴

2

6-x

=

x

y+4

．（1分
∴y=-

1

2

x2+3x-4（2＜x＜4）．（2分）
②當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，
∴△BEP∽△DMF．（1分）
∵S△DMF=

9

4

S△BEP，
∴

DF

BP

=

3

2

=

y

x

．（1分）
∵y=-

1

2

x2+3x-4，
∴x²-3x+8=0，△＜0．
∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
故當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，不存在點(diǎn)P使S△DMF=

9

4

S△BEP；（1分）
當(dāng)點(diǎn)F在線段CD上時(shí)，同理△BEP∽△DMF，
∵S△DMF=

9

4

S△BEP，
∴

DF

BP

=

3

2

=

y

x

．
∵△BEP∽△CPF，
∴

EB

CP

=

BP

CF

．
∴

2

6-x

=

x

4-y

．（1分）
∴y=

1

2

x2-3x+4．
∴x²-9x+8=0，解得x₁=1，x₂=8．（1分）
由于x₂=8不合題意舍去．
∴x=1，即BP=1．（1分）
∴當(dāng)S△DMF=

9

4

S△BEP時(shí)，BP的長(zhǎng)為1．

點(diǎn)評(píng)：本題數(shù)形結(jié)合，考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，及二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．