Question

【題目】正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線DB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是DB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)（如圖①），猜測AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上（不與點(diǎn)D、O、B重合）時(shí)（如圖②），探究（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在DB的長延長線上時(shí)，請將圖③補(bǔ)充完整，并判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出相應(yīng)的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）AP=EF，AP⊥EF，理由見解析；（2）仍成立，理由見解析；（3）仍成立，理由見解析；

【解析】試題分析：（1）正方形中容易證明∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，利用AAS證明△AMO≌△FOE.(2) （3）按照（1）中的證明方法證明△AMP≌△FPE（SAS），結(jié)論依然成立.

試題解析：

（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：

連接AC，則AC必過點(diǎn)O，延長FO交AB于M；

∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形OECF是正方形，

∴OM=OF=OE=AM，

∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，

∴△AMO≌△FOE（AAS），

∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF．

（2）題（1）的結(jié)論仍然成立，理由如下：

延長AP交BC于N，延長FP交AB于M；

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，

∴四邊形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；

又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE（SAS），

∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF,

∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，

∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）題（1）（2）的結(jié)論仍然成立；

如右圖，延長AB交PF于H，證法與（2）完全相同．