Question

如圖，已知兩條射線(xiàn)OM∥CN，動(dòng)線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在射線(xiàn)OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F(xiàn)在線(xiàn)段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出與∠AOC相等的角，并說(shuō)明理由；
（2）若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC與∠OFC的度數(shù)比是否隨著AB位置的變化而發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個(gè)比值；
（3）在平行移動(dòng)AB的過(guò)程中，是否存在某種情況，使∠OEC=2∠OBA？若存在，請(qǐng)求出∠OBA度數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)可得求出∠AOC，∠ABC，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠BAM即可得解；
（2）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠AOF=2∠AOB，從而得到比值不變；
（3）設(shè)∠OBA=x，表示出∠OEC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AOB、∠COE，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義根據(jù)∠AOB+∠COE=

1

2

∠AOC列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵OM∥CN，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-108°=72°，
∠ABC=180°-∠OAB=180°-108°=72°，
又∵∠BAM=∠180°-∠OAB=180°-108°=72°，
∴與∠AOC相等的角是∠AOC，∠ABC，∠BAM；

（2）∵OM∥CN，
∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，
∵OB平分∠AOF，
∴∠AOF=2∠AOB，
∴∠OFC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=

1

2

；

（3）設(shè)∠OBA=x，則∠OEC=2x，
在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-x-108°=72°-x，
在△OCE中，∠COE=180°-∠C-∠OEC=180°-108°-2x=72°-2x，
∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF，
∴∠COE+∠AOB=

1

2

∠COF+

1

2

∠AOF=

1

2

∠AOC=

1

2

×72°=36°，
∴72°-x+72°-2x=36°，
解得x=36°，
即∠OBA=36°，
此時(shí)，∠OEC=2×36°=72°，
∠COE=72°-2×36°=0°，
點(diǎn)C、E重合，
所以，不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，解題的關(guān)鍵在于性質(zhì)和判定方法的綜合運(yùn)用，難點(diǎn)在于（3）根據(jù)角度之間的關(guān)系列出方程．