Question

14．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線y=kx+t經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)?zhí)剿鳎涸趚軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得CD的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A、D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案；
（3）根據(jù)根據(jù)勾股定理，可得PA的長(zhǎng)，PQ的長(zhǎng)，根據(jù)圓的半徑相等，可得關(guān)于u的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 （1）解：由拋物線的頂點(diǎn)是M（1，4），
設(shè)解析式為y=a（x-1）²+4（a＜0），
又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，3），
∴3=a（2-1）²+4，解得a=-1．
故所求拋物線的解析式為y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
（2）證明：如圖1：
，
直線y=kx+t經(jīng)過(guò)C（0，3）、M（1，4）兩點(diǎn)，
$\left\{\begin{array}{l}{t=3}\\{k+t=4}\end{array}\right.$，
即k=1，t=3，
直線CD的解析式為y=x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，即D（-3，0）；
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+2x+3=0，解得x=-1，即A（-1，0），
∴AD=2．
∵C（0，3），N（2，3）
∴CN=2=AD，且CN∥AD
∴四邊形CDAN是平行四邊形．
（3）解：如圖2：
，
假設(shè)在x軸上方存在這樣的P點(diǎn)，使以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，設(shè)P（1，u）其中u＞0，
則PA是圓的半徑且PA²=u²+2²，
過(guò)P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ=PA時(shí)以P為圓心的圓與直線CD相切．
由第（2）小題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PM．
由PQ²=PA²得方程：
$\frac{1}{2}$（4-u）²=u²+2²，
解得u=$\frac{-8+4\sqrt{7}}{2}$，u=$\frac{-8-4\sqrt{7}}{2}$（不符合題意，舍）．
所以，滿足題意的點(diǎn)P存在，其坐標(biāo)為（1，$\frac{-8+4\sqrt{7}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；利用等腰直角三角形得出PQ的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵，又利用半徑相等得出關(guān)于u的方程．