Question

17．如圖，△ACB為等腰直角三角形，△PBE也為等腰直角三角形，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：CE=$\sqrt{2}$CM；
（2）若△PBE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，問以上結(jié)論是否成立，并畫圖證明．

Answer 1

分析 （1）將△BCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAF，連接EF與直線PA交于點(diǎn)M′，連接PF，只要證明△ECF是等腰直角三角形，EM=MF即可．
（2）證明方法類似（1）．

解答 （1）證明：將△BCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAF，連接EF與直線PA交于點(diǎn)M′，連接PF，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=∠CAF=45°，
∵EP=EB，∠PEB=90°，∠FAB=∠CAF+∠CAB=90°，
∴∠FAB=∠PEB，
∴FA∥PE，
∵FA=BE-PE，
∴四邊形AFPE是平行四邊形，
∴AM′=M′P，F(xiàn)M′=M′E，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)M′重合，
∵CE=CF，∠ECF=90°，F(xiàn)M=EM，
∴CM=MF=ME，∠MCE=∠MEC=45°，
∴EC=$\sqrt{2}$CM．
（2）結(jié)論仍然成立．
證明：如圖，將△BCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAF，連接EF與直線PA交于點(diǎn)M′，連接PF，AB與PE交于點(diǎn)K．
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=∠CAF=45°，
∵EP=EB，∠PEB=90°，∠FAB=∠CAF+∠CAB=45°+∠CAB，
∠PKB=∠PEB+∠EBK=90°+∠EBK=45°+（45°+∠EBK）=45°+∠CBE，
又∵∠CAF=∠CBE，
∴∠PKB=∠FAB，
∴FA∥PE，
∵FA=BE-PE，
∴四邊形AFPE是平行四邊形，
∴AM′=M′P，F(xiàn)M′=M′E，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)M′重合，
∵CE=CF，∠ECF=90°，F(xiàn)M=EM，
∴CM=MF=ME，∠MCE=∠MEC=45°，
∴EC=$\sqrt{2}$CM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形以及全等三角形，屬于中考�？碱}型．