Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1與拋物線y=ax²+bx﹣3交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；

①用含有m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，并求出線段PD長(zhǎng)的最大值；

②連接PB，線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積之比為9：10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．

【分析】（1）已知直線AB的解析式，首先能確定A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定a、b的值；若設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為E，E點(diǎn)坐標(biāo)易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，則∠ACP的正弦值可得．

（2）①已知P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB、拋物線的解析式，求出C、P的坐標(biāo)，由此得到線段PC的長(zhǎng)；在Rt△PCD中，根據(jù)（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表達(dá)式，再根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)求出PD長(zhǎng)的最大值．

②在表達(dá)△PCD、△PBC的面積時(shí)，若都以PC為底，那么它們的面積比等于PC邊上的高的比．分別過(guò)B、D作PC的垂線，首先求出這兩條垂線段的表達(dá)式，然后根據(jù)題干給出的面積比例關(guān)系求出m的值．

【解答】解：（1）由x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）．

由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．

∵y=ax²+bx﹣3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，

∴

∴，

則拋物線的解析式為：y=x²﹣x﹣3，

設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E，則E（0，1）．

∵PC∥y軸，

∴∠ACP=∠AEO．

∴sin∠ACP=sin∠AEO===．

（2）①由（1）知，拋物線的解析式為y=x²﹣x﹣3．則點(diǎn)P（m， m²﹣m﹣3）．

已知直線AB：y=x+1，則點(diǎn)C（m， m+1）．

∴PC=m+1﹣（m²﹣m﹣3）=﹣m²+m+4=﹣（m﹣1）²+

Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[﹣（m﹣1）²+]•=﹣（m﹣1）²+

∴PD長(zhǎng)的最大值為：．

②如圖，分別過(guò)點(diǎn)D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分別為F、G．

∵sin∠ACP=，

∴cos∠ACP=，

又∵∠FDP=∠ACP

∴cos∠FDP==，

在Rt△PDF中，DF=PD=﹣（m²﹣2m﹣8）．

又∵BG=4﹣m，

∴====．

當(dāng)==時(shí)，解得m=；

當(dāng)==時(shí)，解得m=．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及解析式的確定、解直角三角形、圖形面積的求法等知識(shí)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力．