Question

3．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AE是△ABC的角平分線，CD是高，AE與CD相交于F點(diǎn)．若BE=4，則DF的長是（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 作EH⊥AB于H，如圖，在Rt△BEH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BH和EH的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得EC=EH，接著計(jì)算出AB、BD，從而得到AD和AH的長，然后證明△AFD∽△AEH，最后利用相似比可計(jì)算出DF的長．

解答 解：作EH⊥AB于H，如圖，
∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠B=60°，
在Rt△BEH中，BH=$\frac{1}{2}$BE=2，EH=$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，
∵AE是△ABC的角平分線，
∴EC=EH=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$+4，
在Rt△ABC中，AB=2BC=4$\sqrt{3}$+8，
在Rt△BCD中，BD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$+2，
∴DH=BD-BH=$\sqrt{3}$+2-2=$\sqrt{3}$，AD=AB-BD=3$\sqrt{3}$+6，
∵FD∥EH，
∴△AFD∽△AEH，
∴$\frac{FD}{EH}$=$\frac{AD}{AH}$，即$\frac{FD}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3\sqrt{3}+6}{4\sqrt{3}+6}$，
∴FD=3．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：兩個三角形相似也有對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．解決本題的關(guān)鍵是△AEH與△AFD相似．