17.將一張邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片沿MN對(duì)折,使點(diǎn)D落在BC邊上.
(1)若點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,求折痕MN的長(zhǎng).
(2)如圖,若點(diǎn)D落在BC的中點(diǎn)E處.
①求證:MN=DE;
②求折痕MN的長(zhǎng);
③判斷FM、NC、EN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

分析 (1)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)折痕MN就是AC,求出AC即可.
(2)①作MK⊥CD于K,只要證明△MKN≌△DCE即可.
②根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,MN=DE,求出DE即可.
③因?yàn)镋C=NK=DN-DK=EN-AF,在RT△MNC中利用勾股定理即可解決.

解答 解:(1)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí),折痕MN與對(duì)角線(xiàn)AC重合,
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$,
∴折痕MN為4$\sqrt{2}$cm;
(2)①作MK⊥CD于K,
∵∠KMN+∠KNM=90°,∠KNM+∠EDC=90°,
∴∠DEC=∠NMK,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=CD=BC=AB,∠A=∠ADC=∠C=90°,
∵∠A=∠ADC=∠DKM=90°,
∴四邊形AMKD是矩形,
∴AD=MK=CD,
在△MKN和△DCE中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠MKN=∠DCE=90°}\\{∠NMK=∠EDC}\\{MK=CD}\end{array}\right.$,
∴△MKN≌△DCE,
∴MN=DE.
②在RT△EDC中,∵∠C=90°,EC=BE=2,CD=4,
∴DE=$\sqrt{E{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$.
∴MN=DE=2$\sqrt{5}$.
③結(jié)論:EN2=CN2+(EN-AF)2.理由如下:
∵四邊形MNEF是由四邊形ADNM翻折,
∴AM=FM,EN=DN,
∵四邊形AMKD是矩形,
∴AM=DK,
∵△MKN≌△DCE,
∴EC=KN=DN-DK=EN=AM,
在RT△ENC中,∵EN2=CN2+EC2,
∴EN2=CN2+(EN-AF)2

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形,學(xué)會(huì)利用同角的余角相等證明兩個(gè)角相等,屬于中考?碱}型.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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