Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，且AB=AC，直徑AD交BC于點E，F是OE上的一點，使CF∥BD．

（1）求證：BE=CE；

（2）試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由；

（3）若BC=8，AD=10，求CD的長．

Answer 1

【考點】垂徑定理；勾股定理；菱形的判定．

【分析】（1）證明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根據等腰三角形的性質即可證明；

（2）菱形，證明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四邊形BFCD是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結論；

（3）設DE=x，則根據CE²=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．

【解答】（1）證明：∵AD是直徑，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AB=AC，

∴BE=CE；

（2）四邊形BFCD是菱形．

證明：∵AD是直徑，AB=AC，

∴AD⊥BC，BE=CE，

∵CF∥BD，

∴∠FCE=∠DBE，

在△BED和△CEF中

，

∴△BED≌△CEF，

∴CF=BD，

∴四邊形BFCD是平行四邊形，

∵∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴四邊形BFCD是菱形；

（3）解：∵AD是直徑，AD⊥BC，BE=CE，

∴CE²=DE•AE，

設DE=x，

∵BC=8，AD=10，

∴4²=x（10﹣x），

解得：x=2或x=8（舍去）

在Rt△CED中，

CD===2．

【點評】本題主要考查了圓的有關性質：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質，菱形的判定與性質，勾股定理，三角形相似的判定與性質，熟悉圓的有關性質是解決問題的關鍵．