Question

在平面直角坐標系中，⊙C的半徑為r，點P是與圓心C不重合的點，給出如下定義：若點為射線CP上一點，滿足，則稱點為點P關(guān)于⊙C的反演點．右圖為點P及其關(guān)于⊙C的反演點的示意圖．

(1) 如圖1，當⊙O的半徑為1時，分別求出點M(1，0)，N（0，2），

T（，）關(guān)于⊙O的反演點，，的坐標；

(2) 如圖2，已知點A(1，4)，B(3，0)，以AB為直徑的⊙G與y軸交于點C，D(點C位于點D下方)，E為CD的中點．

① 若點O，E關(guān)于⊙G的反演點分別為，，求∠的大小；

② 若點P在⊙G上，且∠BAP＝∠OBC，設直線AP與x軸的交點為Q，點Q關(guān)于⊙G的反演點為，請直接寫出線段的長度．

Answer 1

解：(1)(1，0)，(0，)，(1，1)； ……………………………………3分

(2) ①解法一：∵，，

∴＝，

即．

又∵∠＝∠EGO，

∴△∽△OEG，                ……………………………………4分

∴∠＝∠OEG．

∵E為弦CD的中點，G為圓心，

∴GE⊥CD于點E，

即∠OEG＝90°，                   ……………………………………5分

∴∠＝90°．                ……………………………………6分

解法二：易得G(2，2)，E(0，2)，，

∴EG＝2，OG＝．

∵，，

∴＝，＝．          ……………………………………4分

∵在射線GE上，在射線GO上，

∴(，2)，(，)，

∴＝，                     ……………………………………5分

∴，

∴∠＝90°．                  ……………………………………6分

②線段的長度為或．