在平面直角坐標系中,⊙C的半徑為r,點P是與圓心C不重合的點,給出如下定義:若點為射線CP上一點,滿足,則稱點為點P關(guān)于⊙C的反演點.右圖為點P及其關(guān)于⊙C的反演點的示意圖.
(1) 如圖1,當⊙O的半徑為1時,分別求出點M(1,0),N(0,2),
T(,)關(guān)于⊙O的反演點,,的坐標;
(2) 如圖2,已知點A(1,4),B(3,0),以AB為直徑的⊙G與y軸交于點C,D(點C位于點D下方),E為CD的中點.
① 若點O,E關(guān)于⊙G的反演點分別為,,求∠的大小;
② 若點P在⊙G上,且∠BAP=∠OBC,設直線AP與x軸的交點為Q,點Q關(guān)于⊙G的反演點為,請直接寫出線段的長度.
解:(1)(1,0),(0,),(1,1); ……………………………………3分
(2) ①解法一:∵,,
∴=,
即.
又∵∠=∠EGO,
∴△∽△OEG, ……………………………………4分
∴∠=∠OEG.
∵E為弦CD的中點,G為圓心,
∴GE⊥CD于點E,
即∠OEG=90°, ……………………………………5分
∴∠=90°. ……………………………………6分
解法二:易得G(2,2),E(0,2),,
∴EG=2,OG=.
∵,,
∴=,=. ……………………………………4分
∵在射線GE上,在射線GO上,
∴(,2),(,),
∴=, ……………………………………5分
∴,
∴∠=90°. ……………………………………6分
②線段的長度為或.
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則線段 AC=__________________(用含a,b的式子表示).
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觀察下列式子,定義一種新運算:
;
;
;
;
(1)請你想一想: ;(用含a、b的代數(shù)式表示);
(2)如果,那么 (填 “=”或 “≠”);
(3)如果,請求出的值.
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北京聯(lián)合張家口成功申辦2022年冬奧會后,滑雪運動已成為人們喜愛的娛樂健身項目.如圖是某滑雪場為初學者練習用的斜坡示意圖,出于安全因素考慮,決定將斜坡的傾角由45°降為30°,已知原斜坡坡面AB長為200米,點D,B,C在同一水平地面上,求改善后的斜坡坡角向前推進的距離BD.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):≈1.41,
≈1.73,≈2.45,)
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