Question

18．已知，如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，⊙O經(jīng)過(guò)A、B、D三點(diǎn)．
（1）求證：AB是⊙O的直徑；
（2）求證：DE為⊙O的切線；
（3）若⊙O的半徑為3，∠BAC=60°，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先連接AD，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB的度數(shù)，再利用圓周角定理得出答案；
（2）利用三角形中位線定義得出DO是△BAC的中位線，進(jìn)而得出DO∥AC，進(jìn)而得出∠ODE=90°，即可得出答案；
（3）利用等邊三角形的判定與性質(zhì)得出△ABC是等邊三角形，進(jìn)而利用三角形面積求出答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接AD，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴AB是⊙O的直徑；

（2）證明：如圖2，連接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴DO是△BAC的中位線，
∴DO∥AC，
∴DO⊥DE，
∴DE為⊙O的切線；

（3）解：如圖3，∵AO=3，
∴AB=6，
又∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AD=3$\sqrt{3}$，
∵AC×DE=CD×AD，
∴6×DE=3×3$\sqrt{3}$，
解得：DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及圓周角定理和三角形面積求法等知識(shí)，正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．