19.在平面直角坐標系xOy中,過點(0,2)且平行于x軸的直線,與直線y=x-1交于點A.點A關于直線x=1的對稱點為B,拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過點A,B.
(1)求點A,B的坐標;
(2)求拋物線C1的表達式及頂點坐標;
(3)若拋物線C2:y=ax2+1(a≠0)與線段AB恰有一個公共點,結合函數(shù)的圖象,求a的取值范圍.

分析 (1)由過點(0,2)且平行于x軸的直線解析式為y=2,可求出點A的坐標,由點A關于直線x=1的對稱點為B,可求出點B的坐標;
(2)由拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過點A,B,利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)的解析式,將解析式配方后可得出頂點的坐標;
(3)結合圖形,可得知ax2+1=2兩個根的范圍,從而的出結論.

解答 解:(1)過點(0,2)且平行于x軸的直線解析式為y=2,
令y=2,則有x-1=2,解得:x=3,
故A點的坐標為(3,2).
∵點A關于直線x=1的對稱點為B,
∴B點的坐標為(-1,2).
(2)∵拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過點A,B,
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2=9+3b+c}\\{2=1-b+c}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-1}\end{array}\right.$,
故求拋物線C1的表達式為y=x2-2x-1.
∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,
∴拋物線C1的頂點坐標為(1,-2).
(3)依照題意畫出題形如下.

令y=2,則有ax2+1=2,解得:x=±$\frac{1}{\sqrt{a}}$,其中a>0,
∵拋物線C2:y=ax2+1(a≠0)與線段AB恰有一個公共點,
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{\sqrt{a}}<-1}\\{\frac{1}{\sqrt{a}}≤3}\end{array}\right.$,解得:$\frac{1}{9}$≤a<1.
故a的取值范圍為$\frac{1}{9}$≤a<1.

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質以及解一元一次不等式,解題的關鍵:(1)解一元一次方程求出點A的坐標;(2)由待定系數(shù)法找出關于b、c的二元一次方程組;(3)結合圖象找出關于a的一元一次不等式組.本題屬于中檔題,難度不大,但涉及知識點較多,需要對二次函數(shù)足夠了解才能快捷的解決問題.

練習冊系列答案
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9.化簡下列各式:
(1)(a-2b)2+b(4a-3b);
(2)$({\frac{x}{x-1}-\frac{x}{{{x^2}-1}}})÷\frac{{{x^2}-x}}{{{x^2}-2x+1}}-\frac{x+2}{x+1}$.

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10.已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
(1)若這個方程的一個根是1,求a+b+c的值;
(2)若a-b+c=0,請你通過觀察,求出這個方程的一個根.

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7.如圖,在△ABC中,∠B=∠C=67.5°.
(Ⅰ)求sinA的值;
(Ⅱ)求tanC的值.

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14.鉛筆每支0.5元,小明拿5元錢去買鉛筆,求應找回的錢數(shù)y(單位:元)與所買鉛筆支數(shù)x之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)圖象.

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4.如圖,在三角形ABC中,BC=8,將三角形ABC以每秒2cm的速度沿BC所在直線向右平移,所得的圖形對應為三角形DEF,設平移的時間為t秒,當t=( 。⿻r,AD=CE.
A.1B.2C.3D.4

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11.閱讀下面的例題,
解方程x2-|x|-2=0,
解:(1)當x≥0時,原方程化為x2-x-2=0,解得:x1=2,x2=-1(不合題意,舍去).
(2)當x<0時,原方程化為x2+x-2=0,解得:x1=1(不合題意,舍去),x2=-2.
∴原方程的根是x1=2,x2=-2
請參照例題解方程x2-|x-3|-3=0,則此方程的根是x1=2,x2=-3.

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11.若設分式$\frac{x}{x-1}$的值為y,則有y=$\frac{x}{x-1}$
(1)分別求當x=2及x=$\frac{1}{2}$時,y的值;
(2)當x=a時,y=c;x=b時,y=d,若c+d=1,求證:ab=1;
(3)求代數(shù)式$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+(1-x)(1-y)的值;
(4)設m=$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}-2}{2}$,n=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}-2}$,其中y1、y2分別是分式$\frac{x}{x-1}$中的x取x1、x2(x2>x1>1)時所對應的值,試判斷m、n的大小,并說明理由.

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12.計算:
(1)(-x)•x2•(-x)6
(2)(-2x23+x2•x4-(-3x32
(3)[-2(x-y)2]2•(y-x)3
(4)${(-\frac{1}{2})^{-2}}+|{-3}|+{(2-\sqrt{3})^0}+{(-1)^{2013}}$.

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