分析 (1)由過點(0,2)且平行于x軸的直線解析式為y=2,可求出點A的坐標,由點A關于直線x=1的對稱點為B,可求出點B的坐標;
(2)由拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過點A,B,利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)的解析式,將解析式配方后可得出頂點的坐標;
(3)結合圖形,可得知ax2+1=2兩個根的范圍,從而的出結論.
解答 解:(1)過點(0,2)且平行于x軸的直線解析式為y=2,
令y=2,則有x-1=2,解得:x=3,
故A點的坐標為(3,2).
∵點A關于直線x=1的對稱點為B,
∴B點的坐標為(-1,2).
(2)∵拋物線C1:y=x2+bx+c經(jīng)過點A,B,
∴有$\left\{\begin{array}{l}{2=9+3b+c}\\{2=1-b+c}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-1}\end{array}\right.$,
故求拋物線C1的表達式為y=x2-2x-1.
∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,
∴拋物線C1的頂點坐標為(1,-2).
(3)依照題意畫出題形如下.
令y=2,則有ax2+1=2,解得:x=±$\frac{1}{\sqrt{a}}$,其中a>0,
∵拋物線C2:y=ax2+1(a≠0)與線段AB恰有一個公共點,
∴有$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{\sqrt{a}}<-1}\\{\frac{1}{\sqrt{a}}≤3}\end{array}\right.$,解得:$\frac{1}{9}$≤a<1.
故a的取值范圍為$\frac{1}{9}$≤a<1.
點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質以及解一元一次不等式,解題的關鍵:(1)解一元一次方程求出點A的坐標;(2)由待定系數(shù)法找出關于b、c的二元一次方程組;(3)結合圖象找出關于a的一元一次不等式組.本題屬于中檔題,難度不大,但涉及知識點較多,需要對二次函數(shù)足夠了解才能快捷的解決問題.
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