Question

20．閱讀與證明：請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯（約公元570年-約公元前500年）學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問(wèn)題．他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)，比如，他們研究過(guò)1、3、6，10…由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角形點(diǎn)陣表示，他們就將其稱為三角形數(shù)，第n個(gè)三角形數(shù)可以用$\frac{n（n+1）}{2}$（n≥1）表示．
任務(wù)：請(qǐng)根據(jù)以上材料，證明以下結(jié)論：
（1）任意一個(gè)三角形數(shù)乘8再加1是一個(gè)完全平方數(shù)；
（2）連續(xù)兩個(gè)三角形數(shù)的和是一個(gè)完全平方數(shù)．

Answer 1

分析 （1）第n個(gè)三角形數(shù)$\frac{n（n+1）}{2}$8再加1，再利用完全平方公式整理得出答案即可；
（2）分別用n表示出第n-1，n個(gè)三角形數(shù)，進(jìn)一步相加整理得出答案即可．

解答 證明：（1）∵第n個(gè)三角形數(shù)為$\frac{n（n+1）}{2}$個(gè)，
∴（$\frac{n（n+1）}{2}$×8+1
=4n+4n+1
=（2n+1）²
即任意一個(gè)三角形數(shù)乘8再加1是一個(gè)完全平方數(shù)．
（2）∵第n-1個(gè)三角形數(shù)為$\frac{（n-1）（n-1+1）}{2}$個(gè)，第n個(gè)三角形數(shù)為$\frac{n（n+1）}{2}$個(gè)，
∴$\frac{（n-1）（n-1+1）}{2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{1}{2}$（n²-n+n²+n）
=n²，
即連續(xù)兩個(gè)三角形數(shù)的和是一個(gè)完全平方數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 此題考查完全平方數(shù)，用字母表示出第n個(gè)三角形數(shù)，利用完全平方公式因式分解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．