Question

（2013•陜西）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E，連接AC、DE和DB，當(dāng)△AOC與△DEB相似時(shí)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
[提示：如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表達(dá)式可表示為y=a（x-x₁）（x-x₂）]．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性得出對(duì)稱(chēng)軸即可；
（2）首先求出C，D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出CO的長(zhǎng)，利用當(dāng)△AOC與△DEB相似時(shí)，根據(jù)①假設(shè)∠OCA=∠EBD，②假設(shè)∠OCA=∠EDB，分別求出即可．

解答：解；（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2；

（2）設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x-1）（x-3）（a≠0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3a，當(dāng)x=2時(shí)，y=-a，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：（0，3a），頂點(diǎn)D坐標(biāo)為：（2，-a），
∴OC=|3a|，
又∵A（1，0），E（2，0），
∴AO=1，EB=1，DE=|-a|=|a|，
當(dāng)△AOC與△DEB相似時(shí)，
①假設(shè)∠OCA=∠EBD，
可得

AO

DE

=

OC

EB

，
即

1

|a|

=

|3a|

1

，
∴a=

3

3

或a=-

3

3

，
②假設(shè)∠OCA=∠EDB，可得

AO

BE

=

OC

ED

，
∴

1

1

=

|3a|

|a|

，此方程無(wú)解；，
綜上所述，所得二次函數(shù)的表達(dá)式為：
y=

3

3

x²-

4 3

3

x+

3

或y=-

3

3

x²+

4 3

3

x-

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．