Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+bx+c與x軸交于點B和點A（-1，0），與y軸交于點C，與一次函數(shù)y=x+a交于點A和點D．
（1）求出a、b、c的值；
（2）若直線AD上方的拋物線存在點E，可使得△EAD面積最大，求點E的坐標(biāo)；
（3）點F為線段AD上的一個動點，點F到（2）中的點E的距離與到y(tǒng)軸的距離之和記為d，求d的最小值及此時點F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形可以看出點C的坐標(biāo)為（0，4），點B的坐標(biāo)為（4，0），分別代入一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式中，即可得出a、b、c的值；
（2）設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，則可得出點E的縱坐標(biāo)為-m²+3m+4．過點E作x軸的垂線l，交x軸于點G，交AD于點H，則點H的坐標(biāo)為（m，m+1）．過點D作l的垂線，垂足為T；聯(lián)立直線方程和二次函數(shù)方程，即可得出D的坐標(biāo)，再根據(jù)S_△AED=S_△AEH+S_△HED，得出含m的函數(shù)，利用a的取值范圍，可知，當(dāng)m=1時，即可得出最大值，從而可得出E的坐標(biāo)；
（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點M，過F作FN⊥x軸于N，結(jié)合已知，可得出FM=FN，即有d=FE+FM-1=FE+FN-1，可知當(dāng)N、F、E所在直線與x軸垂直時，d=FE+FN-1最小，即可得出F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）a=1；b=3；c=4．（解題過程略）

（2）設(shè)點E的橫坐標(biāo)為m，則點E的縱坐標(biāo)為-m²+3m+4．過點E作x軸的垂線l，交x軸于點G，交AD于點H，則點H的坐標(biāo)為（m，m+1）．過點D作l的垂線，垂足為T．
將y=x+1與y=-x²+3x+4聯(lián)立組成方程組，解得點D的坐標(biāo)為（3，4）．
所以S_△AED=S_△AEH+S_△HED=

1

2

EH×AG+

1

2

EH×DT=

1

2

EH（AG+DT）=

1

2

（-m²+3m+4-m-1）×5=-

5

2

（m-1）²+10
∵a=

5

2

＜0，∴S_△AED有最大值．當(dāng)m=1時，最大值為10，此時點E的坐標(biāo)為（1，10）．

（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點M，過F作FN⊥x軸于N，
∵點D的坐標(biāo)為（3，4），點A坐標(biāo)為（-1，0）
∴∠DAB=45°∴AD平分∠SAB，∴FM=FN
∴d=FE+FM-1=FE+FN-1
顯然，當(dāng)N、F、E所在直線與x軸垂直時，d=FE+FN-1最小，最小值為6-1=5．
此時點F的橫坐標(biāo)為1，代入y=x+1得F點的坐標(biāo)為（1，2）．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式時要靈活地根據(jù)已知條件選擇配方法和公式法．具有一定難度的二次函數(shù)題．