Question

【題目】如圖，拋物線L1：y＝－x2－2x＋3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)拋物線L1向右平移2個單位得到拋物線L2，L2交x軸于C，D兩點(diǎn)．

(1)求拋物線L2對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)拋物線L1或L2在x軸上方的部分是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)若點(diǎn)P是拋物線L1上的一個動點(diǎn)(P不與點(diǎn)A，B重合)，那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q是否在拋物線L2上？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）存在，N(2，3)，N′(－2，3);（3）點(diǎn)Q不在拋物線L2上．

【解析】

(1)由于是平移，所以拋物線的開口方向和開口大小不變，先求出L1與x軸的交點(diǎn)，再求出L2與x軸的交點(diǎn)，即可求出拋物線L2的解析式；

(2)因?yàn)槭瞧揭疲�根�?jù)平移的性質(zhì)，連接各組對應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等，故存在符合條件的點(diǎn)N,即可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)先設(shè)出L1上的點(diǎn)（x1，y1），進(jìn)而求得關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)（-x1，-y1），再將（-x1，-y1）代入函數(shù)L2的解析式，成立則在圖像上，不成立則不在圖像上．

解：(1)令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，

　 ∴x1＝－3，x2＝1，

　 ∴A(－3，0)，B(1，0) ，

　∵拋物線L1向右平移2個單位得拋物線L2，

　 ∴C(－1，0)，D(3，0)，a＝－1，

　 ∴拋物線L2為y＝－(x＋1)(x－3) ．

　 即y＝－x2＋2x＋3．

(2)存在；令x＝0，得y＝3，

∴M(0，3),

　∵拋物線L2是L1向右平移2個單位得到的，

　∴點(diǎn)N(2，3)在L2上，且MN＝2，MN∥AC，

又∵AC＝2，

∴MN＝AC，

∴四邊形ACNM為平行四邊形．

同理，L1上的點(diǎn)N′(－2，3)滿足N′M∥AC，N′M＝AC，

　∴四邊形ACMN′是平行四邊形．

∴N(2，3)或N′(－2，3)即為所求．

(3)設(shè)P(x1，y1)是L1上任意一點(diǎn)(y1≠0)，

則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q(－x1，－y1)，

且，

將點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入L2，

得：

∴點(diǎn)Q不在拋物線L2上．