Question

18．在Rt△ABC中，∠ABC=45°，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE平分∠ABC交AF于G，交AC于E，CD⊥BE于D．有以下判斷：①BF=CF；②∠ABE=∠DCE；③AE=AG；④BE=2CD；⑤CE=$\sqrt{2}$AG；⑥CE=BG．其中正確的判斷個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 3個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 5個(gè)
• D． 6個(gè)

Answer 1

分析 由中點(diǎn)的定義得出①正確；由直角三角形的性質(zhì)和對(duì)頂角相等得出②正確；由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理得出∠AGE=∠AEG，證出AE=AG，③正確；連接AD，證明點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC，證出∠DAC=∠ACD，得出AD=CD，取BE的中點(diǎn)H，連接AH，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AH=BH=$\frac{1}{2}$BE，得出∠HAB=∠HBA，證出∠ADB=∠AHD，得出AD=AH=CD，證出④正確；證明△ABE∽△DBC，得出$\frac{AG}{BE}$=$\frac{CD}{\sqrt{2}AB}$，再證明△ABE∽△DCE，得出$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CE}{BE}$，即可得出CE=$\sqrt{2}$AG，⑤正確；證明△BFG∽△CDE，得出$\frac{BG}{CE}=\frac{BF}{CD}$，由BF=$\frac{1}{2}$BC＞$\frac{1}{2}$BE=CD，得出BG＞CE，⑥不正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵F為BC中點(diǎn)，
∴BF=CF，故①正確；
∵∠BAC=90°，CD⊥BE，
∴∠BAE=∠CDE=90°，
∵∠AEB=∠DEC，
∴∠ABE=∠DCE，故②正確；
∵∠ABC=45°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=22.5°，
∴∠AEG=90°-22.5°=67.5°，
∵Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵F為BC中點(diǎn)，
∴∠FAE=∠FAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠AGE=180°-∠GAE-∠AEG=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AE=AG，故③正確；
連接AD，如圖所示：
∵∠BAC=∠BDC=90°，
∴點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，取BE的中點(diǎn)H，連接AH，
∴AH=BH=$\frac{1}{2}$BE，
∴∠HAB=∠HBA，
∴∠AHE=∠HAB+∠ABH=2∠ABE=45°，
∵∠ADB=∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠AHD，
∴AD=AH=CD，
∴BE=2CD，故④正確；
∵∠BAE=∠CDB=90°，∠ABE=∠DBC，
∴△ABE∽△DBC，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{BE}{BC}$，
∵AE=AG，BC=$\sqrt{2}$AB，
∴$\frac{AG}{BE}$=$\frac{CD}{\sqrt{2}AB}$，
∵∠BAE=∠CDB=90°，∠ABE=∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴$\frac{AG}{BE}$=$\frac{CE}{\sqrt{2}BE}$，
∴CE=$\sqrt{2}$AG，
故⑤正確；
∵在Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC，
∴∠BFG=90°=∠D，
∵∠ABD=∠ACD，∠ABD=∠DBC，
∴DBC=∠ACD，
∴△BFG∽△CDE，
∴$\frac{BG}{CE}=\frac{BF}{CD}$，
∵BF=$\frac{1}{2}$BC＞$\frac{1}{2}$BE=CD，
∴BG＞CE，
∴⑥不正確；
正確的個(gè)數(shù)有5個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，熟記等腰三角形的性質(zhì)和證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．