Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）．
（1）寫出A，B，C，D及AD的中點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求以E為頂點(diǎn)、對稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過點(diǎn)B，C的拋物線的解析式；
（3）求對角線BD與上述拋物線除點(diǎn)B以外的另一交點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）△PEB的面積S_△PEB與△PBC的面積S_△PBC具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）已知AB=2就可以得到A，B的坐標(biāo)，C、D與A、B的縱坐標(biāo)分別相等，而已知AD=4就可以求出C、D、E的橫坐標(biāo)．
（2）已知拋物線的頂點(diǎn)，就可以設(shè)函數(shù)的一般形式，設(shè)頂點(diǎn)式，然后把C點(diǎn)的坐標(biāo)，就可以求出函數(shù)的解析式．
（3）求對角線BD與上述拋物線除點(diǎn)B以外的另一交點(diǎn)P的坐標(biāo)，可以先求出直線BD的解析式，然后解由BD以及拋物線的解析式組成的方程組．
（4）△PBC中BC已知，BC邊上的高就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值，因而面積可以很容易得到．
過P，E分別作PP′⊥BC，EE′⊥BC，垂足分別為P′，E′，設(shè)拋物線與x軸左邊的交點(diǎn)是F，△PEB的面積就是△EFP與△EFB的面積的和．

解答：解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）．

（2）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+1
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（0，-1）
∴a（0-2）²+1=-1
解得a=-

1

2

∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

（x-2）²+1
經(jīng)驗證，拋物線y=-

1

2

（x-2）²+1經(jīng)過點(diǎn)C（4，-1）

（3）直線BD的解析式為：y=

1

2

x-1
解方程組

y=- 1 2 (x-2)2+1 y= 1 2 x-1

得點(diǎn)P的坐標(biāo)：P（3，

1

2

）．

（4）S_△PEB=

1

2

S_△PBC=

1

2

×4×

3

2

=3
過P，E分別作PP'⊥BC，EE'⊥BC，垂足分別為P'，E'
S_△PEB=

1

2

×2×2+

1

2

×（

3

2

+2）×1-

1

2

×3×

3

2

=

3

2

∴S_△PEB=

1

2

S_△PBC

點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，求三角形的面積利用數(shù)形結(jié)合比較容易理解．