Question

如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為1，E、F、G分別是AB、BC、CA上的點，且AE=BF=CG，當△EFG的面積恰好為△ABC面積的一半時，AE的長為（ ）

A．
B．
C．或
D．或

Answer 1

【答案】分析：可證明三個三角形AEG、BFE、CGF全等，則三角形ABC相似于三角形EFG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，面積之比等于相似比的平方，即可得出三角形EFG邊長，再設AE=x，則AG=1-x，過G點作AE邊上的高GH，利用勾股定理求出x即可．
解答：解：∵AE=BF=CG，AB=AC=BC，∴AG=BE=CF，
∵∠A=∠B=∠C，∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EF=FG=EG，∴△ABC∽△EFG，
∴=，
∵△EFG的面積恰好為△ABC面積的一半，
∴=，
∵AB=1，∴EF=，
設AE=x，則AG=1-x，過G點作AE邊上的高GH，
∴∠AGH=30°，AH=（1-x），EH=，
∴由勾股定理得HG²=AG²-AH²=EG²-EH²，
即（1-x）²-[（1-x）]²=（）²-（x-）²，
解得x=．
故選D．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，難度偏大．