Question

19．如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABO≌△ACD，連接OD．
（1）求證：△AOD為等邊三角形；
（2）如圖2，連接OC，若∠BOC=130°，∠AOB=∠α．
①求∠OCD的度數(shù)；
②當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，求∠α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形得到AO=AD，∠BAO=∠CAD，由∠BAC=60°，求得∠OAD=60°，即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)△AOD為等邊三角形，求得∠AOD=∠ADO=60°，求得∠DOC=360°-α-130°-60°=170°-α，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠AOB=α，于是得到∠OCD=180°-∠DOC-∠ODC=70°；②當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，（Ⅰ）當(dāng)OD=OC，由∠DOC=170°-α，得到∠OCD=∠ODC=$\frac{180°-∠COD}{2}$=$\frac{1}{2}α+5°$，列方程得到α=130°（Ⅱ）當(dāng)OD=CD，于是得到∠OCD=∠COD=170°-α；求得∠ODC=180°-2×170°+2α=2α-160°，列方程即可得到α=100°；（Ⅲ）當(dāng)OC=CD，于是得到∠ODC=∠COD=170°-α，列方程即可得到α=115°．

解答 解：（1）∵△ABO≌△ACD，
∴AO=AD，∠BAO=∠CAD，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAD=60°，
∴△AOD為等邊三角形；

（2）①∵△AOD為等邊三角形，
∴∠AOD=∠ADO=60°，
∵∠BOC=130°，∠AOB=∠α，
∴∠DOC=360°-α-130°-60°=170°-α，
∵△ABO≌△ACD，
∴∠ADC=∠AOB=α，
∴∠ODC=α-60°，
∴∠OCD=180°-∠DOC-∠ODC=70°；
②當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，
（Ⅰ）當(dāng)OD=OC，∵∠DOC=170°-α，
∴∠OCD=∠ODC=$\frac{180°-∠COD}{2}$=$\frac{1}{2}α+5°$，
∴60°+$\frac{1}{2}α+5°$=α，
解得：α=130°
（Ⅱ）當(dāng)OD=CD，∴∠OCD=∠COD=170°-α；
∴∠ODC=180°-2×170°+2α=2α-160°，
∴60°+2α-160°=α，
解得：α=100°；
（Ⅲ）當(dāng)OC=CD，∴∠ODC=∠COD=170°-α，
∴170°-α+60°=α，
解得：α=115°．
綜上所述：當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，∠α的度數(shù)為：130°，100°，115°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．