Question

2．如圖，已知等邊△ABC，點E在邊AC上，點D在邊BC上，且AE=CD，連接AD、BE相交于點G，過點B作BF⊥AD于點F，△ABG和△MBG關于直線BG對稱（點A的對稱點是點M），BM與AD相交于點H．已知AG=3，GH=2，則GE=1．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件證得△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性質得到∠1=∠2，由∠3+∠2=60°，得到∠1+∠3=60°=∠AGE=∠BGD，由對稱的性質得到AG=GM=3，∠BGM=∠BGA=180°-60°=120°，于是得到∠HGM=120°-60°=60°，過H作HN⊥GM于H，由勾股定理得到HM=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，由BF⊥DH，得到BD=BH求得HM=CD=AE=$\sqrt{7}$，過E作EQ⊥AG于Q，設GE=2a，解直角三角形得到GQ=a，QE=$\sqrt{3}$a，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABC=∠C}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠1=∠CAD，
∵∠BGH=∠1+∠BAG=∠BAG+∠CAD=60°，
∵∠1=∠2，
∴∠3+∠2=30°，
∴∠AGE=∠BGD=60°，
∵△ABG和△MBG關于直線BG對稱
∴AG=GM=3，∠BGM=∠BGA=180°-60°=120°，
∴∠HGM=120°-60°=60°，
過H作HN⊥GM于H，
∵GH=2，
∴$GN=1，NM=3-1=2，HN=\sqrt{3}$，
∴HM=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠1=∠2，∠2+∠3=90°-∠BGF=30°，
∴∠3=∠4，
∵BF⊥DH，
∴BD=BH，
∵BC=AB=BM，
∴HM=CD=AE=$\sqrt{7}$，
過E作EQ⊥AG于Q，
設GE=2a，
∵∠QGE=60°，
∴GQ=a，QE=$\sqrt{3}$a，
∴（$\sqrt{7}$）²=（3-a）²+（$\sqrt{3}$a）²，
∴a=$\frac{1}{2}$，a=1（不和題意，舍去），
∴GE=2a=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，等邊三角形的性質，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．