Question

19．已知：如圖，在△ABC中，CD是中線，過點A作BC的平行線交CD的延長線于點E，連接EB．
（1）求證：AE=BC；
（2）延長AC到點F，使CF=AC，連接BF．當(dāng)△ABF滿足什么條件時，四邊形AEBC是矩形？（寫出你的猜想，并說明理由）

Answer 1

分析 （1）首先證明AD=BD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAB=∠CBA，然后再證明△AED≌△BCD可得AE=BC；
（2）當(dāng)AB=BF時，四邊形AEBC是矩形；根據(jù)AE=BC，AE∥BC，可證明四邊形ACBE是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)可得CB⊥AF，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CD是中線，
∴AD=BD，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠CBA，
在△AED和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠CBD}\\{AD=BD}\\{∠ADE=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BCD（ASA），
∴AE=BC；

（2）解：當(dāng)AB=BF時，四邊形AEBC是矩形，
∵AE=BC，AE∥BC，
∴四邊形ACBE是平行四邊形，
∵AB=BF，AC=CF，
∴CB⊥AF，
∴∠ACB=90°，
∴四邊形AEBC是矩形．

點評 此題主要考查了矩形的判定，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握有一個角是直角的平行四邊形是矩形．