(2013•南通)如圖,直線y=kx+b(b>0)與拋物線y=
1
8
x2
相交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),與x軸正半軸相交于點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)C,設(shè)△OCD的面積為S,且kS+32=0.
(1)求b的值;
(2)求證:點(diǎn)(y1,y2)在反比例函數(shù)y=
64
x
的圖象上;
(3)求證:x1•OB+y2•OA=0.
分析:(1)先求出直線y=kx+b與x軸正半軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)及與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo),得到△OCD的面積S=-
b2
2k
,再根據(jù)kS+32=0,及b>0即可求出b的值;
(2)先由y=kx+8,得x=
y-8
k
,再將x=
y-8
k
代入y=
1
8
x2,整理得y2-(16+8k2)y+64=0,然后由已知條件直線y=kx+8與拋物線y=
1
8
x2
相交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),知y1,y2是方程y2-(16+8k2)y+64=0的兩個(gè)根,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到y(tǒng)1•y2=64,即點(diǎn)(y1,y2)在反比例函數(shù)y=
64
x
的圖象上;
(3)先由勾股定理,得出OA2=
x
2
1
+
y
2
1
,OB2=
x
2
2
+
y
2
2
,AB2=(x1-x22+(y1-y22,由(2)得y1•y2=64,又易得x1•x2=-64,則OA2+OB2=AB2,根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°.再過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F,根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△AEO∽△OFB,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到
OA
BO
=
OE
BF
,即可證明x1•OB+y2•OA=0.
解答:(1)解:∵直線y=kx+b(b>0)與x軸正半軸相交于點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)C,
∴令x=0,得y=b;令y=0,x=-
b
k
,
∴△OCD的面積S=
1
2
(-
b
k
)•b=-
b2
2k

∵kS+32=0,
∴k(-
b2
2k
)+32=0,
解得b=±8,
∵b>0,
∴b=8;

(2)證明:由(1)知,直線的解析式為y=kx+8,即x=
y-8
k
,
將x=
y-8
k
代入y=
1
8
x2,得y=
1
8
y-8
k
2
整理,得y2-(16+8k2)y+64=0.
∵直線y=kx+8與拋物線y=
1
8
x2
相交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),
∴y1,y2是方程y2-(16+8k2)y+64=0的兩個(gè)根,
∴y1•y2=64,
∴點(diǎn)(y1,y2)在反比例函數(shù)y=
64
x
的圖象上;

(3)證明:由勾股定理,得
OA2=
x
2
1
+
y
2
1
,OB2=
x
2
2
+
y
2
2
,AB2=(x1-x22+(y1-y22,
由(2)得y1•y2=64,
同理,將y=kx+8代入y=
1
8
x2
得kx+8=
1
8
x2,即x2-8kx-64=0,
∴x1•x2=-64,
∴AB2=
x
2
1
+
x
2
2
+
y
2
1
+
y
2
2
-2x1•x2-2y1•y2=
x
2
1
+
x
2
2
+
y
2
1
+
y
2
2
,
又∵OA2+OB2=
x
2
1
+
y
2
1
+
x
2
2
+
y
2
2

∴OA2+OB2=AB2,
∴△OAB是直角三角形,∠AOB=90°.
如圖,過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F.
∵∠AOB=90°,
∴∠AOE=90°-∠BOF=∠OBF,
又∵∠AEO=∠OFB=90°,
∴△AEO∽△OFB,
OA
BO
=
OE
BF

∵OE=-x1,BF=y2,
OA
BO
=
-x1
y2
,
∴x1•OB+y2•OA=0.
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,三角形的面積,一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn),一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,勾股定理及其逆定理,相似三角形的判定與性質(zhì),綜合性較強(qiáng),難度適中.求出△OCD的面積S是解第(1)問的關(guān)鍵;根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系,得到y(tǒng)1,y2是方程y2-(16+8k2)y+64=0的兩個(gè)根,進(jìn)而得出y1•y2=64是解第(2)問的關(guān)鍵;根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°,是解第(3)問的關(guān)鍵.
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CE
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70
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