Question

如圖，正方形ABCD中，AC是對角線，今有較大的直角三角板，一邊始終經(jīng)過點B，直角頂點P在射線AC上移動，另一邊交DC于Q．
（1）如圖1，當點Q在DC邊上時，猜想并寫出PB與PQ所滿足的數(shù)量關系；并加以證明；
（2）如圖2，當點Q落在DC的延長線上時，猜想并寫出PB與PQ滿足的數(shù)量關系，請證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）過P作PE⊥BC，PF⊥CD，證明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；
（2）證明思路同（1）
解答：（1）PB=PQ，
證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C為正方形對角線AC上的點，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四邊形PECF為正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；

（2）PB=PQ，
證明：過P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C為正方形對角線AC上的點，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四邊形PECF為正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．
點評：此題考查了正方形，角平分線的性質，以及全等三角形判定與性質．此題綜合性較強，注意數(shù)形結合思想．