Question

如圖，直線y=-2x+b與y軸交于點A，與x軸交于點D，與雙曲線y=

k

x

在第一象限交于B、C兩點，且AB•BD=2，則k=

 

．

Answer 1

分析：過B分別作x軸和y軸的垂線，E，F(xiàn)分別為垂足，先得到A（0，b），D（

1

2

b，0），即OA=b，OD=

1

2

b；由BF∥OD，可得AF：OA=BF：OD，即有AF：BF=2，若設B（m，n），m＞0，n＞0，則BF=m，AF=2m，再由勾股定理分別計算AB²=AF²+BF²=5m²，BD²=BE²+DE²=n²+（

1

2

b-m）²=n²+

(2m-b) 2

4

，通過B點在直線y=-2x+b上，得到BD²=n²+

1

4

n²=

5

4

n²，根據(jù)AB•BD=2，
得到m•n=

4

5

，然后利用點B在雙曲線y=

k

x

的圖象上，即可求出k．

解答：解：過B分別作x軸和y軸的垂線，E，F(xiàn)分別為垂足，如圖，
對于y=-2x+b，令x=0，y=b；令y=0，x=

1

2

b，
∴A（0，b），D（

1

2

b，0），即OA=b，OD=

1

2

b，
∵BF∥OD，
∴AF：OA=BF：OD，
∴AF：BF=2，
設B（m，n），m＞0，n＞0，則BF=m，AF=2m，
∴AB²=AF²+BF²=5m²，
BD²=BE²+DE²=n²+（

1

2

b-m）²=n²+

(2m-b) 2

4

，
而B點在直線y=-2x+b上，
∴n=-2m+b，即2m-b=n，
∴BD²=n²+

1

4

n²=

5

4

n²，
而AB•BD=2，
∴5m²•

5

4

n²=4，即m•n=

4

5

，
∵點B在雙曲線y=

k

x

的圖象上，
∴k=m•n=

4

5

．
故答案為

4

5

．

點評：本題考查了點在圖象上，點的坐標滿足圖象的解析式．也考查了勾股定理以及代數(shù)式的變形．