Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)為．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，△的面積為．

①求的值；

②將拋物線向上平移個(gè)單位，得到拋物線．若當(dāng)時(shí)，拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②答案見解析.

【解析】試題分析：（1）將A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b、c即可；（2）①過A作AF⊥x軸與點(diǎn)F，如圖1，首先求出D的坐標(biāo)，再根據(jù)△ADE的面積可求出DE的長度，接著可求出OE的長度即m的值；②利用拋物線的平移變換，可設(shè)拋物線C2的表達(dá)式為y=（x－1）2－4+n，接下去分類討論：求出拋物線過點(diǎn)E和過原點(diǎn)時(shí)對應(yīng)的n的值，并畫出圖像，利用圖像可確定n的范圍；當(dāng)拋物線頂點(diǎn)再x軸上時(shí)，求出n的值.綜上得到n的取值范圍.

試題解析：

（1）∵拋物線C1：y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，－3），且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（3，0），

∴，

解得，

∴拋物線C1解析式為y=x2－2x－3；

（2）

①過A作AF⊥x軸與點(diǎn)F，如圖1，

∵y=x2－2x－3=（x－1）2－4，

∴拋物線對稱軸為：x=1，

∴D（－1，0），

∵E（m，0），m＞0，

∴S△ADE=DE·AF=DE×3=，

∴DE=，

∴m=OE=DE－OD=.

②

設(shè)拋物線C2的表達(dá)式為y=（x－1）2－4+n，

如圖2，當(dāng)拋物線C2經(jīng)過E（，0）時(shí)，

（－1）2－4+n=0，解得n=；

當(dāng)拋物線C2經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，

（0－1）2－4+n=0，解得n=3；

∵0≤x≤時(shí)，拋物線C2與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴結(jié)合圖像可知，當(dāng)≤n＜3時(shí)，符合題意.

令y=0，（x－1）2－4+n=0，

由題意得，b2－4ac=16－4n=0，解得n=4.

綜上， ≤n＜3或n=4.