Question

6．如圖，以△ABC的邊AB、AC、BC為一邊，分別向三角形的外側(cè)作正方形ABDE，正方形ACGF、正方形BCMN
（1）以EF、DN、GM為邊能否構(gòu)成三角形？為什么？
（2）若能，試探究以EF、DN、GM為邊構(gòu)成的三角形的面積與△ABC的面積的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）可以利用正方形的對(duì)邊平行而且相等，作出一個(gè)以EF、GM、ND為邊的三角形，把△AEF沿AB平移，△MCG沿CB方向平移，使A、C重合于B，F(xiàn)、G重合于I，△DBI≌△AEF，△BIN≌△MCG，且可得∠EAF+∠GCM+∠DBN=360°，因此可拼成一個(gè)三角形；
（2）然后再證明S_△DIN=3S_△ABC，把△GCM繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCG′，可得A，C，G′在一條直線上，且C為AG′的中點(diǎn)．進(jìn)而由DN、EF、GM為三邊構(gòu)成的△DIK的面積S_△DIN=3S_△ABC．

解答 證明：（1）以EF、DN、GM為邊能構(gòu)成三角形，
理由：把△AEF沿AB平移，△MCG沿CB方向平移，
使A、C重合于B，F(xiàn)、G重合于I，連接DI，BI，NI，
∴△DBI≌△AEF，△BIN≌△MCG，
∴∠EAF+∠GCM+∠DBN=360°，DI=EF，IN=GM，
∵DI，IN，DN為邊能拼成一個(gè)△DIK，
∴以EF、DN、GM為邊能拼成一個(gè)△DIK；

（2）把△GCM繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCG′，
∵∠ACG=90°，
∴∠ACG+∠GCG′=180°，
∴A，C，G′在一條直線上，CG′=CG=AC，
∴C為AG′的中點(diǎn)，
∴S_△BCG′=S_△ABC，
∴S_△BIN=S_△ABC，同理S_△DBN=S_△DBI=S_△ABC，
∴DN、EF、GM為三邊構(gòu)成的△DIN的面積S_△DIN=3S_△ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角形的三邊關(guān)系定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．